精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學(xué) > 題目詳情

D．（選修4-5：不等式選講）
設(shè)a₁，a₂，…a_n 都是正數(shù)，且 a₁•a₂…a_n=1，求證：（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_n）≥2ⁿ．

解：∵a₁＞0，∴根據(jù)基本不等式，得1+a₁≥2 $\text{[math]}$
同理可得，1+a₂≥2 $\text{[math]}$ ，1+a₃≥2 $\text{[math]}$ ，…，1+a_n≥2 $\text{[math]}$
注意到所有的不等式的兩邊都是正數(shù)，將這n個不等式的左右兩邊對應(yīng)相乘，得
（1+a₁）（1+a₂）（1+a₃）…（1+a_n）≥2ⁿ• $\text{[math]}$
∵a₁•a₂…a_n=1，
∴（1+a₁）（1+a₂）（1+a₃）…（1+a_n）≥2ⁿ•1=2ⁿ，即原不等式成立．
分析：根據(jù)基本不等式，得1+a₁≥2 $\text{[math]}$ ，1+a₂≥2 $\text{[math]}$ ，…，1+a_n≥2 $\text{[math]}$ ．再由不等式的各項都大于0，將此n個不等式左右兩邊對應(yīng)相乘，結(jié)合a₁•a₂…a_n=1即可證出要證明的不等式成立．
點評：本題給出n個正數(shù)a₁、a₂、…a_n，求證關(guān)于a₁、a₂、…a_n 的一個不等式恒成立．著重考查了不等式的基本性質(zhì)和運用基本不等式證明不等關(guān)系成立的知識，屬于中檔題．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，圓O₁與圓O₂內(nèi)切于點A，其半徑分別為r₁與r₂（r₁＞r₂ ）．圓O₁的弦AB交圓O₂于點C （ O₁不在AB上）．求證：AB：AC為定值．
B．選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣A=

1	1
2	1

，向量β=

．求向量

，使得A²

．
C．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，求過橢圓

x=5cosφ

y=3sinφ

（φ為參數(shù)）的右焦點，且與直線

x=4-2t

y=3-t

（t為參數(shù)）平行的直線的普通方程．
D．選修4-5：不等式選講（本小題滿分10分）
解不等式：x+|2x-1|＜3．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（選做題）本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩題，并在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，若多做，則按作答的前兩題評分，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．[選修4-1：幾何證明選講]
已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圓劣弧AC上的點（不與點A，C重合），延長BD至點E．
求證：AD的延長線平分∠CDE
B．[選修4-2：矩陣與變換]
已知矩陣A=

1	2
-1	4

（1）求A的逆矩陣A^-1；
（2）求A的特征值和特征向量．
C．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ，以極點為原點，極軸為x軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為

t+1

（t為參數(shù)），求直線l被曲線C截得的線段長度．
D．[選修4-5，不等式選講]（本小題滿分10分）
設(shè)a，b，c均為正實數(shù)，求證：

≥

b+c

c+a

a+b

．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

選做題（在A、B、C、D四小題中只能選做兩題，并將選作標(biāo)記用2B鉛筆涂黑，每小題10分，共20分，請在答題指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）．
A、（選修4-1：幾何證明選講）
如圖，BD為⊙O的直徑，AB=AC，AD交BC于E，求證：AB²=AE•AD
B、（選修4-2：矩形與變換）
已知a，b實數(shù)，如果矩陣M=