Question

已知函數(shù)f（x）=的圖象在點(diǎn)（-2，f（-2））處的切線方程為16x+y+20=0．
（1）求實(shí)數(shù)a、b的值；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最大值；
（3）曲線y=f（x）上存在兩點(diǎn)M、N，使得△MON是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且斜邊MN的中點(diǎn)在y軸上，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用函數(shù)圖象在點(diǎn)（-2，f（-2））處的切線方程為16x+y+20=0，確定切點(diǎn)坐標(biāo)及切線的向量，建立方程組，即可求實(shí)數(shù)a、b的值；
（2）根據(jù)分段函數(shù)，分類討論，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可求f（x）在[-1，2]上的最大值；
（3）根據(jù)分段函數(shù)，分類討論，利用，即可求實(shí)數(shù)c的取值范圍．
解答：解：（1）當(dāng)x＜1時(shí)，f′（x）=-3x²+2ax+b．
因?yàn)楹瘮?shù)圖象在點(diǎn)（-2，f（-2））處的切線方程為16x+y+20=0，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，12），
所以，所以a=1，b=0；
（2）由（1）得，當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）=-x³+x²，
令f′（x）=-3x²+2x=0可得x=0或x=，故函數(shù)在（-1，0）和（，1）上單調(diào)遞減，在（0，）上單調(diào)遞增
∴x＜1時(shí)，f（x）的最大值為max{f（-1），f（）}=f（-1）=2；
當(dāng)1≤x≤2時(shí)，f（x）=clnx
當(dāng)c≤0時(shí)，clnx≤0恒成立，f（x）≤0＜2，此時(shí)f（x）在[-1，2]上的最大值為f（-1）=2；
當(dāng)c＞0時(shí)，f（x）在[-1，2]上單調(diào)遞增，且f（2）=cln2
令cln2=2，則c=，∴當(dāng)c＞時(shí)，f（x）在[-1，2]上的最大值為f（2）=cln2；
當(dāng)0＜c≤時(shí)，f（x）在[-1，2]上的最大值為f（-1）=2
綜上，當(dāng)c≤時(shí)，f（x）在[-1，2]上的最大值為2，當(dāng)c＞時(shí)，f（x）在[-1，2]上的最大值為cln2；
（3）f（x）=，
根據(jù)條件M，N的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，不妨設(shè)M（-t，t³+t²），N（t，f（t）），（t＞0）．
若t＜1，則f（t）=-t³+t²，
由∠MON是直角得，，即-t²+（t³+t²）（-t³+t²）=0，
即t⁴-t²+1=0．此時(shí)無(wú)解；
若t≥1，則f（t）=clnt．
由于MN的中點(diǎn)在y軸上，且∠MON是直角，所以N點(diǎn)不可能在x軸上，即t≠1．
同理由，即-t²+（t³+t²）•clnt=0，∴c=．
由于函數(shù)g（t）=（t＞1）的值域是（0，+∞），實(shí)數(shù)c的取值范圍是（0，+∞）即為所求．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的計(jì)算能力，綜合性強(qiáng)．