Question

在(

2

x+

3	3

y)100的展開式中，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)共有

 

項(xiàng)．

Answer 1

分析：利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)，令各項(xiàng)的指數(shù)為整數(shù)，求出系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)．

解答：解：(

2

x+

3	3

y)100的展開式的通項(xiàng)T_r+1=C₁₀₀^r•（(

2

x)100-r•(

3	3

y)r=C₁₀₀^r•2

100-r

2

•3

r

3

，
該項(xiàng)的系數(shù)為C₁₀₀^r•2

100-r

2

•3

r

3

，，
要滿足C₁₀₀^r•2

100-r

2

•3

r

3

，是有理數(shù)，則r應(yīng)是6的倍數(shù)．
∵0≤r≤100且r∈Z，∴r=0，6，12，18，，96
∴系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)共有17項(xiàng)．
故答案為17

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題．