Question

【題目】已知A（4，0）、B（1，0），動(dòng)點(diǎn)M滿足|AM|=2|BM|．

（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；

（2）直線l：x+y=4，點(diǎn)N∈l，過N作軌跡C的切線，切點(diǎn)為T，求NT取最小時(shí)的切線方程．

Answer 1

【答案】（1）x2+y2=4（2）x=2或x+2y-6=0

【解析】

（1）直接利用兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用求出曲線的方程．

（2）利用直線與圓的切線的位置關(guān)系的應(yīng)用，利用點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用和分類討論思想的求出直線的方程．

（1）已知，動(dòng)點(diǎn)滿足 ．

設(shè)點(diǎn) ，所以，整理得．

（2）由于為圓的切線，所以連接和，

在直角三角形中， ，又有為定值．

所以當(dāng)取最小值時(shí)， 取最小值．

的最小值為圓心到直線的距離．

所以|NT|的最小值為．

此時(shí)與直線垂直，且過原點(diǎn)，所以直線ON的直線方程為．

聯(lián)立和，解得．

即過點(diǎn)做圓的切線，求出切線的方程．

①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，，由圓心到直線的距離，

解得，即切線的方程為．

②直線的斜率不存在時(shí)， ，滿足題意．

故當(dāng)取最小值時(shí)切線的方程為或．