(2012•淮南二模)在數(shù)列{an}中,已知an≥1,a1=1,且an+1-an=
2
an+1+an-1
,n∈N+
(1)記bn=(an-
1
2
2,n∈N+,求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列;
(2)求{an}的通項(xiàng)公式;
(3)對(duì)?k∈N+,是否總?m∈N+使得an=k?若存在,求出m的值,若不存在,請(qǐng)說明理由.
分析:(1)根據(jù)an+1-an=
2
an+1+an-1
,可得bn+1-bn=an+12-an2-an+1+an=2,進(jìn)而可得數(shù)列{bn}是等差數(shù)列;           
(2)求出bn=
1
4
+2(n-1)=2n-
7
4
,根據(jù)bn=(an-
1
2
2,an≥1,即可求{an}的通項(xiàng)公式;
(3)設(shè)?k∈N+,總?m∈N+使得am=k,可建立等式,從而求得m=
k(k-1)+2
2
,而k(k-1)總為偶數(shù)且非負(fù),由此可得結(jié)論
解答:(1)證明:∵an+1-an=
2
an+1+an-1

∴an+12-an2-an+1+an=2,
∴bn+1-bn=an+12-an2-an+1+an=2,
∵a1=1,b1=(a1-
1
2
2=
1
4

∴數(shù)列{bn}是以
1
4
為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列;           
(2)解:由(1)得bn=
1
4
+2(n-1)=2n-
7
4
,∴(an-
1
2
2=2n-
7
4

∵an≥1,∴an=
1
2
+
2n-
7
4
;
(3)解:設(shè)?k∈N+,總?m∈N+使得am=k,即
1
2
+
2m-
7
4
=k

整理得m=
k(k-1)+2
2
,而k(k-1)總為偶數(shù)且非負(fù),
故m=
k(k-1)+2
2
滿足題意.
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列遞推式,考查等差數(shù)列的證明,考查數(shù)列的通項(xiàng),考查學(xué)生分析解決問題的能力,確定數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)鍵.
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,(0<x≤1)
,則
1
-1
f(x)dx
=( 。

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