Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠CAA₁=60°，AA₁=2AC，BC⊥平面AA₁C₁C．
（1）證明：A₁C⊥AB；
（2）設(shè)BC=AC=2，求三棱錐C-A₁BC₁的體積．

Answer 1

解：（1）證明：在△ACA₁中，
由余弦定理得=3AC²，
∴，
∴，∴，∴A₁C⊥AC．
∵BC⊥平面AA₁C₁C，∴BC⊥A₁C．
∵AC∩BC=C，∴A₁C⊥平面ABC，∴A₁C⊥AB．
（2）作A₁E⊥CC₁，CF⊥AA₁．
則A₁E⊥平面BCC₁B₁，四邊形A₁ECF為矩形．
在Rt△ACF中，CF=ACsin60°=．
==4，
∴===．
分析：（1）利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理即可證明；
（2）利用三棱錐的體積計算公式和等積變形即可求出．
點(diǎn)評：熟練掌握線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理及等積變形是解題的關(guān)鍵．