Question

（2012•陜西三模）“剪刀、石頭、布”游戲的規(guī)則是：出拳之前雙方齊喊口令，然后在話音剛落時同時出拳，握緊的拳頭代表“石頭”，食指和中指伸出代表“剪刀”，五指伸開代表“布”．“石頭”勝“剪刀”，“剪刀”勝“布”，而“布”又勝“石頭”，如果所出的拳相同，則為和局．現(xiàn)甲乙二人通過“剪刀、石頭、布”游戲進(jìn)行比賽．
（Ⅰ） 設(shè)甲乙二人每局都隨機出“剪刀”、“石頭”、“布”中的某一個，求甲勝乙的概率；
（Ⅱ）據(jù)專家分析，乙有以下的出拳習(xí)慣：①第一局不出“剪刀”；②連續(xù)兩局的出拳方法一定不一樣，即如果本局出“剪刀”，則下局將不再出“剪刀”，而是選“石頭”、“布”中的某一個．假設(shè)專家的分析是正確的，甲根據(jù)專家的分析出拳，保證每一局都不輸給乙．在最多5局的比賽中，誰勝的局?jǐn)?shù)多，誰獲勝．游戲結(jié)束的條件是：一方勝3局或賽滿5局，用X表示游戲結(jié)束時的游戲局?jǐn)?shù)，求X的分布列和期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)“石頭”勝“剪刀”，“剪刀”勝“布”，而“布”又勝“石頭”，可得甲勝乙的概率；
（Ⅱ）先求第一局甲勝的概率為

1

2

，同理第二、第三、四、五局甲勝的概率也為

1

2

，X的可能取值為3，4，5，求出相應(yīng)的概率，即可得到X的分布列和期望．

解答：解：（Ⅰ）根據(jù)“石頭”勝“剪刀”，“剪刀”勝“布”，而“布”又勝“石頭”，可得甲勝乙的概率為P=

1

3

（Ⅱ）第一局乙不出“剪刀”，則只能出“石頭”或“布”，此時甲應(yīng)該出“布”，才能保證不輸給乙，甲勝的概率為

1

2

；不妨設(shè)乙第一局出的“石頭”，則乙第二局只能出“剪刀”或“布”，此時甲應(yīng)出“剪刀”，才能保證不輸給乙，則甲勝的概率為

1

2

；同理第三、四、五局甲勝的概率也為

1

2

．
X的可能取值為3，4，5
P(X=3)=(

1

2

)3=

1

8

，P(X=4)=

C

2 3

(

1

2

)2•

1

2

•

1

2

=

3

16

，P(X=5)=1-

1

8

-

3

16

=

11

16

∴X的分布列為　

X	3	4	5
P	1 8	3 16	11 16

故EX=3×

1

8

+4× 

3

16

+5× 

11

16

=

73

16

點評：本題考查離散型隨機變量的概率分布列與期望，解題的關(guān)鍵是確定X的可能取值，求出相應(yīng)的概率．