Question

已知函數(shù)f（x）=x+

1

x

，g（x）=

1

x

（x＞0）．
（Ⅰ）判斷并證明函數(shù)f（x）在[1，+∞）上的單調性；
（Ⅱ）設定點A（a，a），P是函數(shù)g（x）圖象上的動點，若|

AP

|的最小值為2

2

，求實數(shù)a的值．

Answer 1

考點：函數(shù)單調性的判斷與證明,函數(shù)單調性的性質

專題：分類討論,函數(shù)的性質及應用

分析：（Ⅰ）用單調性的定義證明f（x）在[1，+∞） 上是增函數(shù)；
（Ⅱ）求出|

AP

|的表達式，討論a的值，求出|

AP

|取最小值2

2

時，實數(shù)a的值是什么．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）在[1，+∞） 上是增函數(shù)；…（1分）
證明如下：在[1，+∞）上任取x₁，x₂且x₁＜x₂，
∴f（x₁）=x₁+

1

x1

，f（x₂）=x₂+

1

x2

；
∴f（x₁）-f（x₂）=（x₁+

1

x1

）-（x₂+

1

x2

）
=（x₁-x₂）+（

1

x1

-

1

x2

）
=（x₁-x₂）•

x1x2-1

x1x2

；
∵1＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1，x₁x₂-1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在[1，+∞） 上是增函數(shù)；…（4分）
（Ⅱ）|

AP

|=

(a-x)2+(a- 1 x )2

=

(x+ 1 x )2-2a(x+ 1 x )+2a2-2

，
令t=x+

1

x

，由（Ⅰ）知，f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
同理可得f（x）在（0，1]上是減函數(shù)；
∴t≥2，
∴(x+

1

x

)2-2a（x+

1

x

）+2a²-2=t²-2at+2a²-2=（t-a）²+a²-2（t≥2）；
若a＜2，當t=2時（t-a）²++a²-2有最小值2（a-1）²；
∴

2

|a-1|=2

2

，解得a=-1或a=3（舍）；
若a≥2，當t=a時，有（t-a）²+a²-2最小值a²-2；
∴

a2-2

=2

2

，a=

10

或a=-

10

（舍）；
綜上，a=-1或a=

10

…（12分）

點評：本題考查了函數(shù)的單調性的判斷與證明問題，也考查了分類討論思想的應用問題，是中檔題．