Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁＝1，a₂＝2，a_n+2＝(1＋cos²)a_n＋sin²，n＝1，2，3…．

(Ⅰ)求a₃，a₄并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；

(Ⅱ)設(shè)，S_n＝b₁＋b₂＋…＋b_n．證明：當(dāng)n≥6時(shí)，|S_n－2|＜．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.1010pic.com/pic7/pages/60A2/1269/0018/a4b0e1f9836aaf2747e9e97f68010019/C/Image85.gif" width=366 height=41>

　　

　　一般地，當(dāng)時(shí)，

　�。�，即

　　所以數(shù)列是首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列，因此

　　當(dāng)時(shí)，

　　所以數(shù)列是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)列，因此

　　故數(shù)列的通項(xiàng)公式為

　　(Ⅱ)由(Ⅰ)知，

　　…………………………①

　　…………………②

　�、伲�②得，

　　

　　所以

　　要證明當(dāng)時(shí)，成立，只需證明當(dāng)時(shí)，成立．

　　證法一

　　(1)當(dāng)n＝6時(shí)，成立．

　　(2)假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立，即

　　則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，

　　由(1)、(2)所述，當(dāng)n≥6時(shí)，，即當(dāng)n≥6時(shí)，

　　證法二

　　令，則

　　所以當(dāng)時(shí)，．因此當(dāng)時(shí)，

　　于是當(dāng)時(shí)，

　　綜上所述，當(dāng)時(shí)，