Question

5．關于函數f（x）=$lg\frac{{{x^2}+1}}{|x|}$（x≠0），有下列命題：
①f（x）的最小值是lg2；
②其圖象關于y軸對稱；
③當x＞0時，f（x）是增函數；當x＜0時，f（x）是減函數；
④f（x）在區(qū)間（-1，0）和（1，+∞）上是增函數，其中所有正確結論的序號是①②④．

Answer 1

分析 是結合復合函數單調性的關系進行判斷．
②根據基本由函數奇偶性的定義判斷函數為偶函數判斷；
③利用對勾函數的單調性判斷；
④由對勾函數的最值及函數奇偶性的性質進行判斷即可．

解答 解：①函數f（x）=lg$\frac{{{x^2}+1}}{|x|}$，（x∈R且x≠0）．
∵$\frac{{{x^2}+1}}{|x|}$$≥\frac{2|x|}{|x|}$=2，
∴f（x）=lg$\frac{{{x^2}+1}}{|x|}$≥2，即f（x）的最小值是lg2，故①正確，
②∵f（-x）=$lg\frac{（-x）^{2}+1}{|-x|}=lg\frac{{x}^{2}+1}{|x|}$=f（x），∴函數f（x）為偶函數，圖象關于y軸對稱，故②正確；
③當x＞0時，t（x）=$\frac{{x}^{2}+1}{|x|}=\frac{{x}^{2}+1}{x}=x+\frac{1}{x}$，在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上得到遞增，
∴f（x）=lg$\frac{{{x^2}+1}}{|x|}$在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上得到遞增，故③錯誤；
④∵函數f（x）是偶函數，由③知f（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上得到遞增，
∴在（-1，0）上單調遞增，在（-∞，-1）上得到遞減，故④正確，
故答案為：①②④

點評 本題考查了命題的真假判斷與應用，考查了函數奇偶性的性質，考查了復合函數的單調性，是中檔題．