Question

如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ADEF是正方形，F(xiàn)A⊥平面ABCD，BC∥AD，CD=1，AD=2，∠BAD=∠CDA=45°，
(Ⅰ)求異面直線CE與AF所成角的余弦值；
(Ⅱ)證明CD⊥平面ABF；
(Ⅲ)求二面角B-EF-A的正切值．

Answer 1

(Ⅰ)解：因為四邊形ADEF是正方形，所以FA∥ED， 故∠CED為異面直線CE與AF所成的角， 因為FA⊥平面ABCD，所以FA⊥CD，故ED⊥CD， 在Rt△CDE中，CD=1，， 故， 所以異面直線CE與AF所成角的余弦值為。 (Ⅱ)證明：過點B作BG∥CD，交AD于點G， 則∠BCA=∠CDA=45°， 由∠BAD=45°，可得BG⊥AB，從而CD⊥AB， 又CD⊥FA，F(xiàn)A∩AB=A， 所以CD⊥平面ABF。 (Ⅲ)由(Ⅱ)及已知，可得AG=，即G為AD的中點， 取EF的中點N，連接GN，則GN⊥EF， 因為BC∥AD，所以BC∥EF， 過點N作NM⊥EF，交BC于M， 則∠GNM為二面角B-EF-A的平面角， 連接GM，可得AD⊥平面GNM，故AD⊥GM， 從而BC⊥GM，由已知，可得， 由NG∥FA，F(xiàn)A⊥GM，得NC⊥CM， 在Rt△NGM中，， 所以二面角B-EF-A的正切值為。