Question

19．已知函數(shù)$f（x）=\frac{{{2^x}-{2^{-x}}}}{2}，g（x）=\frac{{{2^x}+{2^{-x}}}}{2}$，下列結(jié)論錯誤的是（　�。�

• A． 函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點對稱，函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于y軸對稱
• B． 在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)f（x）的圖象在函數(shù)g（x）的圖象的下方
• C． 函數(shù)g（x）的值域是[1，+∞）
• D． g（2x）=2f（x）g（x）在（-∞，+∞）恒成立

Answer 1

分析 A中，f（x）是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，g（x）是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱；
B中，f（x）-g（x）＜0，得出f（x）的圖象在g（x）的圖象下方；
C中，利用基本不等式得出g（x）≥1；
D中，判斷g（2x）=2f（x）g（x）只有在x=0時成立．

解答 解：對于A，∵f（-x）=$\frac{{2}^{-x}{-2}^{x}}{2}$=-$\frac{{2}^{x}{-2}^{-x}}{2}$=-f（x），
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，
同理，g（x）是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，∴A正確；
對于B，∵f（x）-g（x）=$\frac{{2}^{x}{-2}^{-x}}{2}$-$\frac{{2}^{x}{+2}^{-x}}{2}$=-2^-x＜0
∴f（x）的圖象在g（x）的圖象下方，B正確；
對于C，∵g（x）=$\frac{{2}^{x}{+2}^{-x}}{2}$≥$\frac{2\sqrt{{2}^{x}{•2}^{-x}}}{2}$=1，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時取“=”，
∴g（x）的值域是[1，+∞），C正確；
對于D，∵g（2x）=$\frac{{2}^{2x}{+2}^{-2x}}{2}$，
2f（x）g（x）=2•$\frac{{2}^{x}{-2}^{-x}}{2}$•$\frac{{2}^{x}{+2}^{-x}}{2}$=$\frac{{2}^{2x}{-2}^{-2x}}{2}$，
∴只有當(dāng)x=0時，g（2x）=2f（x）g（x），D錯誤．
故選：D．

點評 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問題，也考查了作差法比較大小，考查了基本不等式的應(yīng)用問題，是綜合性題目．