已知點G是圓F：(x+2)2+y2=4上任意一點，R（2，0），線段GR的垂直平分線交直線GF于H.

（1）求點H的軌跡C的方程；

（2）點M（1，0），P、Q是軌跡C上的兩點，直線PQ過圓心F（-2，0），且F在線段PQ之間，求△PQM面積的最小值.

解：（1）點H的軌跡C的方程為x2=1.

（2）設P(x1,y1),Q(x2,y2),若PQ⊥x軸,則直線PQ:x=-2代入C的方程得y1=3,y2=-3,

S△PQM=S△PFM+S△QFM=×6×3=9.

若PQ不垂直于x軸，設直線PQ:y=k(x+2).

∵F在P、Q兩點之間，∴P、Q在雙曲線的左支上，且y1y2＜0.

又雙曲線的漸近線為y=±x,∴k＜-或k＞,即|k|＞,聯(lián)立

消去x，整理得(3-k2)y2-12ky+9k2=0.y1y2=,y1+y2=,

∴|y1-y2|==6=6≥6

∴S△PQM=|y1-y2|×|FM|=|y1-y2|≥9.

綜上可知：△PQM面積的最小值是9.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P是x軸上方橢圓E上的一點，且PF1⊥F1F2，|PF1|=
3
2
，|PF2|=
5
2
．
（Ⅰ） 求橢圓E的方程和P點的坐標；
（Ⅱ）判斷以PF2為直徑的圓與以橢圓E的長軸為直徑的圓的位置關(guān)系；
（Ⅲ）若點G是橢圓C：
x2
m2
+
y2
n2
=1(m＞n＞0)上的任意一點，F(xiàn)是橢圓C的一個焦點，探究以GF為直徑的圓與以橢圓C的長軸為直徑的圓的位置關(guān)系．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知雙曲線E：
x2
24
-
y2
12
=1的左焦點為F，左準線l與x軸的交點是圓C的圓心，圓C恰好經(jīng)過坐標原點O，設G是圓C上任意一點．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若直線FG與直線l交于點T，且G為線段FT的中點，求直線FG被圓C所截得的弦長；
（Ⅲ）在平面上是否存在定點P，使得對圓C上任意的點G有
|GF|
|GP|
=
1
2
？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•重慶一模）已知橢圓E：
x2
8
+
y2
4
=1的左焦點為F，左準線l與x軸的交點是圓C的圓心，圓C恰好經(jīng)過坐標原點O，設G是圓C上任意一點．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若直線FG與直線l交于點T，且G為線段FT的中點，求直線FG被圓C所截得的弦長；
（Ⅲ）在平面上是否存在一點P，使得
GF
GP
=
1
2
？若存在，求出點P坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•青島一模）已知點M在橢圓D：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上，以M為圓心的圓與x軸相切于橢圓的右焦點，若圓M與y軸相交于A，B兩點，且△ABM是邊長為
2
6
3
的正三角形．
（Ⅰ）求橢圓D的方程；
（Ⅱ）設P是橢圓D上的一點，過點P的直線l交x軸于點F（-1，0），交y軸于點Q，若
QP
=2
PF
，求直線l的斜率；
（Ⅲ）過點G（0，-2）作直線GK與橢圓N：
3x2
a2
+
4y2
b2
=1左半部分交于H，K兩點，又過橢圓N的右焦點F1做平行于HK的直線交橢圓N于R，S兩點，試判斷滿足|GH|•|GK|=3|RF1|•|F1S|的直線GK是否存在？請說明理由．

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