Question

12．如圖所示，正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)分別是棱AA′，CC′的中點(diǎn)，過直線EF的平面分別與棱BB′、DD′分別交于M，N兩點(diǎn)，設(shè)BM=x，x∈[0，1]，給出以下四個(gè)結(jié)論：
①平面MENF⊥平面BDD′B′；
②直線AC∥平面MENF始終成立；
③四邊形MENF周長(zhǎng)L=f（x），x∈[0，1]是單調(diào)函數(shù)；
④四棱錐C′-MENF的體積V=h（x）為常數(shù)；
以上結(jié)論正確的是①②④．

Answer 1

分析 利用直線與平面垂直的判定定理判斷①的正誤；直線與平行判斷②的正誤；分析說明函數(shù)的單調(diào)性判斷③的正誤；求出幾何體的體積即可判斷④的正誤．

解答 解：對(duì)于①：顯然，EF⊥BD，又EF⊥DD′，
∴EF⊥平面BDD′B′，
∴平面MENF⊥平面BDD′B′；
∴①正確；
對(duì)于②：由已知條件，E、F是所在棱的中點(diǎn)，則EF∥ac，且EF?平面MENF，AC?平面MENF，
∴直線AC∥平面MENF始終成立，
故②正確；
對(duì)于③：M在A時(shí)，N在D′，MENF的周長(zhǎng)最大，MN在所在棱的中點(diǎn)時(shí)，MENF的周長(zhǎng)最小，M在B′，N在B時(shí)，MENF的周長(zhǎng)最大，
四邊形MENF周長(zhǎng)L=f（x），x∈[0，1]不是單調(diào)函數(shù)．
故③不正確；
對(duì)于④：連結(jié)C′E，C′M，C′N，則四棱錐則分割為兩個(gè)小三棱錐，
它們以C′EF為底，以M，N分別為頂點(diǎn)的兩個(gè)小棱錐．
因?yàn)槿�角形C′EF的面積是個(gè)常數(shù)．M，N到平面C'EF的距離是個(gè)常數(shù)，
所以四棱錐C'-MENF的體積V為常函數(shù)，所以④正確．
綜上，正確的有①②④．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)考查了空間中平行和垂直關(guān)系的判斷和性質(zhì)等知識(shí)，命題真假的判定，屬于中檔題