Question

（（本小題滿(mǎn)分13分）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線(xiàn)x²＋y²＋2x－6y＋1＝0上有兩點(diǎn)P、Q關(guān)于直線(xiàn)x＋my＋4＝0對(duì)稱(chēng)，又滿(mǎn)足OP⊥OQ.

(1)求m的值；

(2)求直線(xiàn)PQ的方程.

 

Answer 1

【答案】

解： (1)曲線(xiàn)方程可化為(x＋1)²＋(y－3)²＝9，是圓心為(－1,3)，半徑為3的圓.

因?yàn)辄c(diǎn)P，Q在圓上且關(guān)于直線(xiàn)x＋my＋4＝0對(duì)稱(chēng)，

所以圓心(－1,3)在直線(xiàn)x＋my＋4＝0上，代入得m＝－1.

(2)因?yàn)橹本�(xiàn)PQ與直線(xiàn)y＝x＋4垂直，所以設(shè) P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)

則直線(xiàn)PQ的方程為y＝－x＋b.將直線(xiàn)y＝－x＋b代入圓的方程，得2x²＋2(4－b)x＋b²－6b＋1＝0，Δ＝4(4－b)²－4×2(b²－6b＋1)＞0，解得2－3 ＜b＜2＋3 .

x₁＋x₂＝b－4，x₁x₂＝，

y₁y₂＝(－x₁＋b)(－x₂＋b)＝b²－b(x₁＋x₂)＋x₁x₂＝，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052203180851561196/SYS201205220320000468675565_DA.files/image004.png">·＝0，所以x₁x₂＋y₁y₂＝0，

即＋＝0，得b＝1.

故所求的直線(xiàn)方程為y＝－x＋1.

 

【解析】略