Question

已知函數(shù)f（x）定義在R上，對(duì)任意實(shí)數(shù)x有f（x+3）=-f（x）+2

2

，若函數(shù)f（x-1）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，f（2）=

2

．則f（2015）=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)條件求出函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，以及推斷出函數(shù)的周期性，即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵y=f（x-1）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
∴y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=0對(duì)稱，即函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
∵f（x+3）=-f（x）+2

2

，
∴f（x+6）=-f（x+3）+2

2

=f（x），即函數(shù)的周期是6，
則f（2015）=f（336×6-1）=f（-1），
當(dāng)x=-1時(shí)，f（-1+3）=-f（-1）+2

2

，
即f（2）=-f（-1）+2

2

，f（2）=

2

．
∴f（-1）=

2

，
故f（2015）=f（-1）=

2

，
故答案為：

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)值的計(jì)算，根據(jù)條件判斷函數(shù)的周期性是解決本題的關(guān)鍵．