Question

9．已知a+b=1，對?a，b∈（0，+∞），$\frac{1}{a}+\frac{4}≥|x-10|-|x+6|$恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 根據基本不等式的性質先求出$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$的最小值，問題轉化為解不等式9≥|x-10|-|x+6|，從而求出x的范圍．

解答 解：∵a＞0，b＞0 且a+b=1，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$=（a+b）（ $\frac{1}{a}$+$\frac{4}$）=5+$\frac{a}$+$\frac{4a}$≥9，
故$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$的最小值為9，
因為對?a，b∈（0，+∞），
使$\frac{1}{a}+\frac{4}≥|x-10|-|x+6|$恒成立，
所以，9≥|x-10|-|x+6|，
當 x≤-6時，16≤9，無解；
當-6＜x＜10時，4-2x≤9，
∴-2.5≤x＜10；
當 x≥10時，-16≤9，
∴x≥10；
∴{x|x≥-2.5}．

點評 本題考查了基本不等式性質的應用，考查函數恒成立問題，考查絕對值不等式的解法，是一道中檔題．