Question

已知函數(shù)f（x）=

-x2+ 1 2 x(x＜0) ex-1(x≥0)

，若函數(shù)y=f（x）-kx有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理,分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由f（0）=ln1=0，可得：x=0是函數(shù)y=f（x）-kx的一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)x＜0時(shí)，由f（x）=kx，得-x²+

1

2

x=kx，解得x=

1

2

-k，由x=

1

2

-k＜0，可得：k＞

1

2

；當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)f（x）=e^x-1，由f'（x）∈（1，+∞），進(jìn)而可得k＞1；綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=

-x2+ 1 2 x(x＜0) ex-1(x≥0)

，
∴f（0）=ln1=0，
∴x=0是函數(shù)y=f（x）-kx的一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)x＜0時(shí)，由f（x）=kx，
得-x²+

1

2

x=kx，
即-x+

1

2

=k，解得x=

1

2

-k，
由x=

1

2

-k＜0，解得k＞

1

2

，
當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)f（x）=e^x-1，
f'（x）=e^x∈（1，+∞），
∴要使函數(shù)y=f（x）-kx在x＞0時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)，
則k＞1，
∴k＞1，
即實(shí)數(shù)k的取值范圍是（1，+∞），
故答案為：（1，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)零點(diǎn)及零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，指數(shù)型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．