補(bǔ)集是以“全集”為前提而建立的概念,而全集又是相對(duì)于所研究的問題而言的一個(gè)概念;只要包含研究問題的全體元素的集合都可作為________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
PN | PM |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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Tn |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年山東省菏澤市高三5月高考沖刺題理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù)的圖象過坐標(biāo)原點(diǎn)O,且在點(diǎn)處的切線的斜率是.
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)的值;
(Ⅱ)求在區(qū)間上的最大值;
(Ⅲ)對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù),曲線上是否存在兩點(diǎn)P、Q,使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上?說明理由.
【解析】第一問當(dāng)時(shí),,則。
依題意得:,即 解得
第二問當(dāng)時(shí),,令得,結(jié)合導(dǎo)數(shù)和函數(shù)之間的關(guān)系得到單調(diào)性的判定,得到極值和最值
第三問假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求,則點(diǎn)P、Q只能在軸兩側(cè)。
不妨設(shè),則,顯然
∵是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,∴
即 (*)若方程(*)有解,存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q;
若方程(*)無解,不存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),,則。
依題意得:,即 解得
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
①當(dāng)時(shí),,令得
當(dāng)變化時(shí),的變化情況如下表:
0 |
|||||
— |
0 |
+ |
0 |
— |
|
單調(diào)遞減 |
極小值 |
單調(diào)遞增 |
極大值 |
單調(diào)遞減 |
又,,!在上的最大值為2.
②當(dāng)時(shí), .當(dāng)時(shí), ,最大值為0;
當(dāng)時(shí), 在上單調(diào)遞增!在最大值為。
綜上,當(dāng)時(shí),即時(shí),在區(qū)間上的最大值為2;
當(dāng)時(shí),即時(shí),在區(qū)間上的最大值為。
(Ⅲ)假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求,則點(diǎn)P、Q只能在軸兩側(cè)。
不妨設(shè),則,顯然
∵是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,∴
即 (*)若方程(*)有解,存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q;
若方程(*)無解,不存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.
若,則代入(*)式得:
即,而此方程無解,因此。此時(shí),
代入(*)式得: 即 (**)
令 ,則
∴在上單調(diào)遞增, ∵ ∴,∴的取值范圍是。
∴對(duì)于,方程(**)總有解,即方程(*)總有解。
因此,對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù),曲線上存在兩點(diǎn)P、Q,使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上
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