Question

如圖，已知拋物線C：y²=2px和⊙M：（x-4）²+y²=1，過拋物線C上一點H（x₀，y₀）作兩條直線與⊙M相切于A、B兩點，分別交拋物線為E、F兩點，圓心點M到拋物線準(zhǔn)線的距離為

17

4

． 
（1）求拋物線C的方程；
（2）當(dāng)∠AHB的角平分線垂直x軸時，求直線EF的斜率．

Answer 1

分析：（1）利用點M（4，0）到拋物線準(zhǔn)線的距離為4+

p

2

=

17

4

，即可得出p．
（2）當(dāng)∠AHB的角平分線垂直x軸時，點H（4，2），可得k_HE=-k_HF，
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），利用拋物線的方程和斜率計算公式即可得出．

解答：解：（1）∵點M（4，0）到拋物線準(zhǔn)線的距離為4+

p

2

=

17

4

，
∴p=

1

2

，即拋物線C的方程為y²=x．
（2）∵當(dāng)∠AHB的角平分線垂直x軸時，點H（4，2），∴k_HE=-k_HF，
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
∴

yH-y1

xH-x1

=-

yH-y2

xH-x2

，
∴

yH-y1

y 2 H - y 2 1

=-

yH-y2

y 2 H - y 2 2

，
∴y₁+y₂=-2y_H=-4．
kEF=

y2-y1

x2-x1

=

y2-y1

y 2 2 - y 2 1

=

1

y1+y2

=-

1

4

．

點評：熟練掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、圓的切線的性質(zhì)、斜率計算公式等是解題的關(guān)鍵．