Question

已知雙曲線的離心率e=2，且B₁、B₂分別是雙曲線虛軸的上、下端點(diǎn)．
（Ⅰ）若雙曲線過(guò)點(diǎn)Q（2，），求雙曲線的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若A、B是雙曲線上不同的兩點(diǎn)，且，求直線AB的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)雙曲線的離心率，求得a和c的關(guān)系，進(jìn)而求得a和b的關(guān)系，把點(diǎn)Q代入橢圓方程求得a，進(jìn)而求得b，則橢圓方程可得．
（Ⅱ）根據(jù)判斷出A、B₂、B三點(diǎn)共線．根據(jù)判斷出，進(jìn)而設(shè)直線AB的方程和B₁B的方程聯(lián)立求得B的坐標(biāo)，代入雙曲線方程求得k，則直線AB的方程可得．
解答：解：（Ⅰ）∵雙曲線方程為
∴c=2a，b²=c²-a²=3a²，
∴雙曲線方程為，又曲線C過(guò)點(diǎn)Q（2，），
∴
∴雙曲線方程為
（Ⅱ）∵，
∴A、B₂、B三點(diǎn)共線．
∵，∴
（1）當(dāng)直線AB垂直x軸時(shí)，不合題意．
（2）當(dāng)直線AB不垂直x軸時(shí)，由B₁（0，3），B₂（0，-3），
可設(shè)直線AB的方程為y=kx-3，①
∴直線B₁B的方程為②
由①，②知，代入雙曲線方程得
，得k⁴-6k²+1=0，
解得，
故直線AB的方程為
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題和基本的運(yùn)算能力．