設(shè)f （x）=x•3x；
（1）求函數(shù)y=f （x）-3（ln3+1）x的最小值．
（2）對(duì)于?a、b、c∈R，當(dāng)a+b+c=3時(shí)，求證：3aa+3bb+3cc≥9．
分析：（1）已知f （x）=x•3x，對(duì)x進(jìn)行討論：x＞1；0≤x＜1；x＜0，三種情況進(jìn)行討論，討論函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解；
（2）由（1）可知f（x）的最小值，可得f（a）≥-3ln3，f（b）≥-3ln3，f（c）≥-3ln3，再根據(jù)?a、b、c∈R，a+b+c=3，根據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行證明；
解答：解：（1）當(dāng)x＞1時(shí)，
3x＞3＞0
1+xln3＞1+ln3＞0

⇒3x（1+xln3）＞3（1+ln3），
∴y′＞0，y為增函數(shù)，
∴ymin=y（1）=f（1）-3ln3-3=-3ln3；
當(dāng)0≤x＜1時(shí)，
0＜3x＜3
0＜1+xln3＜1+ln3
⇒3x（1+xln3）＜3（1+ln3），可得y′＜0，
當(dāng)x＜0時(shí)，
3x＜1＜3
x3xln3＜0
⇒3x+x3xln3＜3，y′＜0
故函數(shù)y在（-∞，1]遞減，在（1，+∞]遞增，
∴y的最小值為ymin=y|x=1=-3ln3；
（2）由（1）可知
3aa-3(1+ln3)a≥-3ln3
3bb-3(1+ln3)b≥-3ln3
3cc-3(1+ln3)c≥-3ln3
，
∴3aa+3bb+3cc≥3（1+ln3）（a+b+c）-9ln3，
而a+b+c=3，
∴3aa+3bb+3cc≥9；
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值問題，解題的過程中利用了分類討論的思想，是一道中檔題；
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點(diǎn)到直線x-y-3=0距離的最小值為
2
，求a的值；
（2）關(guān)于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）對(duì)于函數(shù)f（x）與g（x）定義域上的任意實(shí)數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”．設(shè)a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對(duì)于定義在區(qū)間D上的函數(shù)f（x）和g（x），如果對(duì)于任意x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1成立，那么稱函數(shù)f（x）在區(qū)間D上可被函數(shù)g（x）替代．
（1）若f(x)=
x
2
-
1
x
，g(x)=lnx，試判斷在區(qū)間[[1，e]]上f（x）能否被g（x）替代？
（2）記f（x）=x，g（x）=lnx，證明f（x）在(
1
m
，m)(m＞1)上不能被g（x）替代；
（3）設(shè)f(x)=alnx-ax，g(x)=-
1
2
x2+x，若f（x）在區(qū)間[1，e]上能被g（x）替代，求實(shí)數(shù)a的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•黃埔區(qū)一模）對(duì)于函數(shù)y=f（x）與常數(shù)a，b，若f（2x）=af（x）+b恒成立，則稱（a，b）為函數(shù)f（x）的一個(gè)“P數(shù)對(duì)”；若f（2x）≥af（x）+b恒成立，則稱（a，b）為函數(shù)f（x）的一個(gè)“類P數(shù)對(duì)”．設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽+，且f（1）=3．
（1）若（1，1）是f（x）的一個(gè)“P數(shù)對(duì)”，求f（2n）（n∈N*）；
（2）若（-2，0）是f（x）的一個(gè)“P數(shù)對(duì)”，且當(dāng)x∈[1，2）時(shí)f（x）=k-|2x-3|，求f（x）在區(qū)間[1，2n）（n∈N*）上的最大值與最小值；
（3）若f（x）是增函數(shù)，且（2，-2）是f（x）的一個(gè)“類P數(shù)對(duì)”，試比較下列各組中兩個(gè)式子的大小，并說明理由．
①f（2-n）與2-n+2（n∈N*）；
②f（x）與2x+2（x∈（0，1]）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f（x）=-x3+bx2+cx，其導(dǎo)函數(shù)y=f'（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（-2，0），(
23
 ， 0)．
（Ⅰ）求f（x）的極小值；
（Ⅱ）方程f（x）+p=0有唯一實(shí)數(shù)解，求p的取值范圍；
（Ⅲ）若對(duì)x∈[-3，3]，都有f（x）≥m2-14m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：徐州模擬 題型：解答題

設(shè)函數(shù)f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點(diǎn)到直線x-y-3=0距離的最小值為2
2
，求a的值；
（2）關(guān)于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）對(duì)于函數(shù)f（x）與g（x）定義域上的任意實(shí)數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”．設(shè)a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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