Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，點E是棱AB上一點，且不為中點．
（1）證明：D₁E⊥A₁D；
（2）證明：平面D₁DE不可能與平面D₁BC垂直．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）建立坐標系，設(shè)AE=λEB，求出

D1E

=（1，

2λ

1-λ

，-1），

A1D

=（-1，0，-1），證明

D1E

•

A1D

=0，可得D₁E⊥A₁D；
（2）利用反證法證明平面D₁DE不可能與平面D₁BC垂直．

解答： （1）證明：建立如圖所示的坐標系，則D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），A₁（1，0，1），B₁（1，2，1），C₁（0，2，1），D₁（0，0，1），
設(shè)AE=λEB，則E（1，

2λ

1-λ

，0），
∴

D1E

=（1，

2λ

1-λ

，-1），

A1D

=（-1，0，-1），
∴

D1E

•

A1D

=0，
∴D₁E⊥A₁D；
（2）∵D₁D⊥平面ABCD，∴設(shè)平面D₁DE的法向量為

m

=（x，y，0）．
∵

DE

=（1，

2λ

1+λ

，-1），∴平面D₁DE的一個法向量為

m

=（

2λ

1+λ

，-1，0），
同理平面D₁BC的法向量為

n

=（2-

2λ

1-λ

，1，2），
由

m

•

n

=0可得λ=1，
∴E是棱AB的中點，與題設(shè)矛盾，
∴平面D₁DE不可能與平面D₁BC垂直．

點評：本題考查線線、線面垂直，考查向量方法的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．