Question

已知函數(shù)，x∈R，a∈R．
（Ⅰ）若f′（0）=-2，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在（1，2）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵，∴f^′（x）=x²+（a+2）x+a．
∵f^′（0）=-2，∴a=-2．
∴，f^′（x）=x²-2．
令f^′（x）=0，解得．
列表如下：
由表格可以看出：當(dāng)時，f（x）_極大值==；
當(dāng)x=時，f（x）_極小值==．
（Ⅱ）∵函數(shù)f（x）在（1，2）上單調(diào)遞增，
∴f^′（x）=x²+（a+2）x+a≥0在區(qū)間（1，2）上恒成立．
亦即在區(qū)間（1，2）上恒成立．
令g（x）=-，則g^′（x）=-=-＜0，
∴函數(shù)g（x）在x∈（1，2）上為減函數(shù)，而函數(shù)g（x）在x=1時連續(xù)，
∴g（x）＜g（1）=-．
故a．
分析：（Ⅰ）先對函數(shù)f（x）求導(dǎo)，再令x=0，即可求出a的值；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）在（1，2）上單調(diào)遞增?f^′（x）≥0在x∈（1，2）上恒成立?在區(qū)間（1，2）上恒成立?a≥，x∈（1，2），解出即可．
點評：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、恒成立問題是最有效的方法之一，必須熟練掌握．