Question

設(shè)f(x)是定義在[0，1]上的函數(shù)，若存在x*∈(0，1)，使得f(x)在[0，x*]上單調(diào)遞增，在[x*，1]上單調(diào)遞減，則稱f(x)為[0，1]上的單峰函數(shù)，x*為峰點(diǎn)，包含峰點(diǎn)的區(qū)間為含峰區(qū)間．

對任意的[0，l]上的單峰函數(shù)f(x)，下面研究縮短其含峰區(qū)間長度的方法．

(1)證明：對任意的x₁，x₂∈(0，1)，x₁＜x₂，若f(x₁)≥f(x₂)，則(0，x₂)為含峰區(qū)間；若f(x₁)≤f(x₂)，則(x*，1)為含峰區(qū)間；

(2)對給定的r(0＜r＜0.5＝，證明：存在x₁，x₂∈(0，1)，滿足x₂－x₁≥2r，使得由(Ⅰ)所確定的含峰區(qū)間的長度不大于0.5＋r；

(3)選取x₁，x₂∈(0，1)，x₁＜x₂，由(Ⅰ)可確定含峰區(qū)間為(0，x₂)或(x₁，1)，在所得的含峰區(qū)間內(nèi)選取x₃，由x₃與x₁或x₃與x₂類似地可確定一個(gè)新的含峰區(qū)間．在第一次確定的含峰區(qū)間為(0，x₂)的情況下，試確定x₁，x₂，x₃的值，滿足兩兩之差的絕對值不小于0.02，且使得新的含峰區(qū)間的長度縮短到0.34．(區(qū)間長度等于區(qū)間的右端點(diǎn)與左端點(diǎn)之差)

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：設(shè)x*為f(x)的峰點(diǎn)，則由單峰函數(shù)定義可知，f(x)在[0，x*]上單調(diào)遞增，在[x*，1]上單調(diào)遞減． 　　當(dāng)f(x1)≥f(x2)時(shí)，假設(shè)x*(0，x2)，則x1＜x2＜x*，從而f(x*)≥f(x2)＞f(x1)，這與f(x1)≥f(x2)矛盾，所以x*∈(0，x2)，即(0，x2)是含峰區(qū)間． 　　當(dāng)f(x1)≤f(x2)時(shí)，假設(shè)x*(x2，1)，則x*＜≤x1＜x2， 　　從而f(x*)≥f(x1)＞f(x2)， 　　這與f(x1)≤f(x2)矛盾，所以x*∈(x1，1)，即(x1，1)是含峰區(qū)間． 　　(2)證明：由(I)的結(jié)論可知： 　　當(dāng)f(x1)≥f(x2)時(shí)，含峰區(qū)間的長度為l1＝x2； 　　當(dāng)f(x1)≤f(x2)時(shí)，含峰區(qū)間的長度為l2＝1－x1； 　　對于上述兩種情況，由題意得 　　① 　　由①得1＋x2－x1≤1＋2r，即x1－x1≤2r． 　　又因?yàn)?I>x2－x1≥2r，所以x2－x1＝2r，② 　　將②代入①得x1≤0.5－r，x2≥0.5－r，③ 　　由①和③解得x1＝0.5－r，x2＝0.5＋r． 　　所以這時(shí)含峰區(qū)間的長度l1＝l1＝0.5＋r，即存在x1，x2使得所確定的含峰區(qū)間的長度不大于0.5＋r． 　　(3)解：對先選擇的x1；x2，x1＜x2，由(Ⅱ)可知x1＋x2＝1，④ 　　在第一次確定的含峰區(qū)間為(0，x2)的情況下，x3的取值應(yīng)滿足x3＋x1＝x2，⑤ 　　由④與⑤可得，當(dāng)x1＞x3時(shí)，含峰區(qū)間的長度為x1． 　　由條件x1－x3≥0.02，得x1－(1－2x1)≥0.02，從而x1≥0.34． 　　因此，為了將含峰區(qū)間的長度縮短到0.34，只要取x1＝0.34，x2＝0.66，x3＝0.32．