Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x），g（x）=log_a（x+1）+log_a（x-1）（其中a＞1）；
（1）求出函數(shù)f（x），g（x）的定義域；
（2）求函數(shù)f（x），g（x）的奇偶性．

Answer 1

解：（1）由于已知函數(shù) f（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x），g（x）=log_a（x+1）+log_a（x-1）（其中a＞1），
要使f（x）有意義，則要：x+1＞0，且1-x＞0．
解得：-1＜x＜1，∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|-1＜x＜1}．
對(duì)于函數(shù)g（x），由解析式可得 ，解得x＞1，故它的定義域?yàn)椋?，+∞）．
（2）對(duì)于函數(shù)y=f（x），由于它的定義域?yàn)椋?1，1），關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f（-x）=log_a（-x+1）-log_a（1+x）=-f（x），
故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
由于函數(shù)g（x）的定義域?yàn)閧x|x＞1}，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故函數(shù)g（x）既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．
分析：（1）由使f（x）的解析式x+1＞0，且1-x＞0，由此求得x的范圍，即可得到函數(shù)f（x）的定義域．對(duì)于函數(shù)g（x），由解析式可得 ，由此求得它的定義域．
（2）對(duì)于函數(shù)y=f（x），由于它的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f（-x）=-f（x），可得函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．由于函數(shù)g（x）的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可得函數(shù)g（x）為非奇非偶函數(shù)
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，判斷函數(shù)的奇偶性的方法，屬于中檔題．