Question

某班同學利用五一節(jié)進行社會實踐，對[25，55]歲的人群隨機抽取n人進行了一次生活習慣是否符合低碳觀念的調(diào)查，若生活習慣符合低碳觀念，則稱為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”，得到如下統(tǒng)計表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖：

組數(shù)	分組	低碳族 的人數(shù)	占本組 的頻率
1	[25，30）	120	0.6
2	[30，35）	195	P
3	[35，40）	100	0.5
4	[40，45）	a	0.4
5	[45，50）	30	0.3
6	[50，55）	15	0.3

（1）請補全頻率分布直方圖，并求n、a、p的值；
（2）在所得樣本中，從[40，50）歲年齡段的“低碳族”中采用分層抽樣法抽取18人參加戶外低碳體驗活動，其中選取3人作為領(lǐng)隊，記選取的3名領(lǐng)隊中年齡在[40，45）歲的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望EX．

Answer 1

分析：（I）由題意及統(tǒng)計圖表，利用圖表性質(zhì)得第二組的頻率為1-（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，在有頻率定義知高為

0.3

5

=0.06，在有頻率分布直方圖會全圖形即可；
（II）由題意及（I）因為[40，45）歲年齡段的“低碳族”與[45，50）歲年齡段的“低碳族”的比值為60：30=2：1，所以采用分層抽樣法抽取18人，[40，45）歲中有12人，[45，50）歲中有6人，并且由題意分出隨機變量X服從超幾何分布，利用分布列定義可以求出分布列，并利用分布列求出期望．

解答：解：（Ⅰ）第二組的頻率為1-（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，所以高為

0.3

5

=0.06．
頻率直方圖如下：

第一組的人數(shù)為

120

0.6

=200，頻率為0.04×5=0.2，所以n=

200

0.2

=1000．
由題可知，第二組的頻率為0.3，所以第二組的人數(shù)為1000×0.3=300，所以p=

195

300

=0.65．
第四組的頻率為0.03×5=0.15，所以第四組的人數(shù)為1000×0.15=150，所以a=150×0.4=60．
（Ⅱ）因為[40，45）歲年齡段的“低碳族”與[45，50）歲年齡段的“低碳族”的比值為60：30=2：1，所以采用分層抽樣法抽取18人，[40，45）歲中有12人，[45，50）歲中有6人．
隨機變量X服從超幾何分布．P(X=0)=

C 0 12 C 3 6

C 3 18

=

5

204

，P(X=1)=

C 1 12 C 2 6

C 3 18

=

15

68

，P(X=2)=

C 2 12 C 1 6

C 3 18

=

33

68

，P(X=3)=

C 3 12 C 0 6

C 3 18

=

55

204

．
所以隨機變量X的分布列為

X	0	1	2	3
P	5 204	15 68	33 68	55 204

∴數(shù)學期望EX=0×

5

204

+1×

15

68

+2×

33

68

+3×

55

204

=2．

點評：此題考查了頻率分布直方圖及其性質(zhì)，還考查了統(tǒng)計中的分層抽樣及離散型隨機變量的定義及分布列，并考查了應(yīng)用其分布列求其期望，重在考查學生的理解及計算能力．