Question

已知拋物線的頂點在原點,它的準線過雙曲線=1的一個焦點,且這條準線與雙曲線的兩個焦點連線互相垂直.又拋物線與雙曲線交于點(),求拋物線和雙曲線的方程.

Answer 1

思路分析：通過拋物線的方程設(shè)出雙曲線的方程，再通過兩者的交點求方程.

解:設(shè)拋物線的方程為y²=2px(p＞0),根據(jù)點()在拋物線上可得()²=2p·,

    解之得p=2.故所求拋物線方程為y²=4x.

    拋物線準線方程為x=-1.

    又雙曲線的左焦點在拋物線的準線上,∴c=1,即a²+b²=1.

    故雙曲線方程為=1.

    又點()在雙曲線上,∴=1.解得a²=.

    同時b²=.因此所求雙曲線的方程為=1.

方法歸納 (1)兩條曲線的方程受相互條件的制約,交點的坐標滿足兩條曲線的方程.

(2)用待定系數(shù)法解決問題是常用的求軌跡方程的方法.