【題目】已知函數(shù),.
(Ⅰ)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若在區(qū)間上存在不相等的實(shí)數(shù),使成立,求的取值范圍;
(Ⅲ)若函數(shù)有兩個不同的極值點(diǎn),,求證:.
【答案】(Ⅰ)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,,單調(diào)減區(qū)間為;(Ⅱ);(Ⅲ)證明見解析.
【解析】
試題分析:(Ⅰ)將代入函數(shù)的表達(dá)式,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)問題轉(zhuǎn)化為求使函數(shù)在上不為單調(diào)函數(shù)的的取值范圍,通過討論的范圍,得到函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而求出的范圍;(Ⅲ)先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),找到函數(shù)的極值點(diǎn),從而證明出結(jié)論.
試題解析:(Ⅰ)當(dāng)時,,.
由,解得,.
當(dāng)時,>0,f(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)時,<0,f(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)時,>0,f(x)單調(diào)遞增.
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,,單調(diào)減區(qū)間為
(Ⅱ)依題意即求使函數(shù)在上不為單調(diào)函數(shù)的的取值范圍.
.設(shè),則,.
因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù),當(dāng),
即當(dāng)時,函數(shù)在上有且只有一個零點(diǎn),設(shè)為.
當(dāng)時,,即,為減函數(shù);
當(dāng)時,,即,為增函數(shù),
滿足在上不為單調(diào)函數(shù).
當(dāng)時,,,所以在上成立
(因在上為增函數(shù)),所以在上成立,
即在上為增函數(shù),不合題意.
同理時,可判斷在上為減函數(shù),不合題意.綜上
(Ⅲ) .
因?yàn)楹瘮?shù)有兩個不同的極值點(diǎn),即有兩個不同的零點(diǎn),
即方程的判別式,解得.
由,解得,.
此時,.
隨著變化時,和的變化情況如下:
+ | - | 0 | + | ||
↗ | 極大值 | ↘ | 極小值 | ↗ |
所以是函數(shù)的極大值點(diǎn),是函數(shù)的極小值點(diǎn).
所以為極大值,為極小值.
所以
因?yàn)?/span>,所以.所以
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【題目】已知橢圓的離心率,過點(diǎn)和的直線與原點(diǎn)的距離為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)為橢圓的左、右焦點(diǎn),過作直線交橢圓于 兩點(diǎn),求△的內(nèi)切圓半徑的最大值.
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【題目】把黑、紅、白3張紙牌分給甲、乙、丙三人,則事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是( )
A. 對立事件 B. 互斥但不對立事件
C. 不可能事件 D. 必然事件
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【題目】已知正四棱錐P﹣ABCD如圖.
(Ⅰ)若其正視圖是一個邊長分別為、,2的等腰三角形,求其表面積S、體積V;
(Ⅱ)設(shè)AB中點(diǎn)為M,PC中點(diǎn)為N,證明:MN∥平面PAD.
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【題目】6月23日15時前后,江蘇鹽城市阜寧、射陽等地突遭強(qiáng)冰雹、龍卷風(fēng)雙重災(zāi)害襲擊,風(fēng)力達(dá)12級.災(zāi)害發(fā)生后,有甲、乙、丙、丁4個輕型救援隊(duì)從A,B,C,D四個不同的方向前往災(zāi)區(qū).已知下面四種說法都是正確的.
(1)甲輕型救援隊(duì)所在方向不是C方向,也不是D方向;
(2)乙輕型救援隊(duì)所在方向不是A方向,也不是B方向;
(3)丙輕型救援隊(duì)所在方向不是A方向,也不是B方向;
(4)丁輕型救援隊(duì)所在方向不是A方向,也不是D方向;
此外還可確定:如果丙所在方向不是D方向,那么甲所在方向就不是A方向,有下列判斷:
①甲所在方向是B方向;②乙所在方向是D方向;③丙所在方向是D方向;④丁所在方向是C方向.
其中判斷正確的序號是 .
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【題目】已知函數(shù),.
(Ⅰ)若在處取得極值,求的值;
(Ⅱ)若在區(qū)間上單調(diào)遞增, 求的取值范圍;
(Ⅲ)討論函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù).
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【題目】某中學(xué)為了了解全校學(xué)生的上網(wǎng)情況,在全校采用隨機(jī)抽樣的方法抽取了40名學(xué)生(其中男女生人數(shù)恰好各占一半)進(jìn)行問卷調(diào)查,并進(jìn)行了統(tǒng)計,按男女分為兩組,再將每組學(xué)生的月上網(wǎng)次數(shù)分為5組:,得到如圖所示的頻率分布直方圖:
(I)寫出的值;
(II)在抽取的40名學(xué)生中,從月上網(wǎng)次數(shù)不少于20次的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人,并用表示其中男生的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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【題目】已知圓,為坐標(biāo)原點(diǎn),動點(diǎn)在圓外,過點(diǎn)作圓的切線,設(shè)切點(diǎn)為.
(1)若點(diǎn)運(yùn)動到處,求此時切線的方程;
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A.60 B.80 C.120 D.180
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