Question

（2009•普寧市模擬）如圖拋物線x²=2py的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過拋物線上一點(diǎn)P（不過原點(diǎn)），做拋物線的切線分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：|PA|=|AB|；
（Ⅱ）若過F、A的直線交準(zhǔn)線l于C，證明：四邊形PFBC為菱形．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意求出F的坐標(biāo)，設(shè)出p的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求出PB的方程，求出A、B的坐標(biāo)，即可證明|PA|=|AB|；
（Ⅱ）若過F、A的直線交準(zhǔn)線l于C，求出C的坐標(biāo)，即可通過線段相等，與斜率關(guān)系證明：四邊形PFBC為菱形．

解答：證明：（Ⅰ）拋物線x²=2py的焦點(diǎn)為F（0，

p

2

），準(zhǔn)線為l：y=-

p

2

，過拋物線上一點(diǎn)P（a，b）（不過原點(diǎn)），做拋物線的切線，利用導(dǎo)數(shù)可得它的斜率為：

a

p

；切線方程為：y-b=

a

p

(x-a)，分別交x軸于A（a-

bp

a

，0），
y軸于B點(diǎn)（0，b-

a2

p

）．|PA|=

(a- bp a -a)2+b2

=

(bp) 2 a2 + b2

=

a2 4 +b2

，
|AB|=

(a- bp a )2+(b- a2 p )2

=

a2 4 +b2

；
所以：|PA|=|AB|；
（Ⅱ）FA的方程：

x

a- bp a

+

y

p 2

=1，所以C的坐標(biāo)（2a-

2bp

a

，-

p

2

），顯然A是FC的中點(diǎn)，
|PF|=

(a-0)2+(b- p 2 )2

=

p

2

+b．
|FB|=

p

2

-b+

a2

p

=

p

2

+b．
所以四邊形是鄰邊相等的平行四邊形，所以是四邊形PFBC為菱形．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查拋物線的基本性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，兩點(diǎn)間的距離公式，考查計(jì)算能力．