Question

已知函數(shù)f（x）=ax+lnx（a∈R），
（Ⅰ）若a=-1，求曲線y=f（x）在處的切線的斜率；
（Ⅱ）求f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅲ）設g（x）=2^x-2，若存在x₁∈（0，+∞），對于任意x₂∈[0，1]，使f（x₁）≥g（x₂），求a的范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f（x）=ax+lnx，∴（x＞0）
若a=-1，
（Ⅱ）當a≥0，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）為增函數(shù)
當a＜0，令f^′（x）＞0，∴，f^′（x）＜0，∴，
綜上：a≥0，f（x）的單調增區(qū)間為（0，+∞）；a＜0時，f（x）的單調增區(qū)間為（0，-），單調減區(qū)間為（-）；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當a≥0時，符合題意；
當a＜0時，f（x）的單調增區(qū)間為（0，-），單調減區(qū)間為（-）
∴
由題意知，只需滿足f（x）_max≥g（x）_max=g（1）=0，∴，
∴
綜上：
分析：（Ⅰ）求導函數(shù)，代入計算，即可求曲線y=f（x）在處的切線的斜率；
（Ⅱ）分類討論，利用導數(shù)的正負，可求f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅲ）分別求出函數(shù)的最大值，建立不等式，即可求a的范圍．
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調性與最值，考查學生的計算能力，屬于中檔題．