Question

4．已知函數(shù)f（x）=x²+ax-lnx（a∈R）．
（Ⅰ）當a=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-x²，是否存在實數(shù)a，當x∈（0，e]時，函數(shù)g（x）的最小值是3，若存在，求a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）求函數(shù)g（x）=x²-f（x）=ax-lnx的導函數(shù)，然后分a≤0、0＜a≤$\frac{1}{e}$、a＞$\frac{1}{e}$三種情況求解a的值得答案．

解答 解：（Ⅰ）∵a=1，∴f（x）=x²+x-lna，
∴f′（x）=2x+1-$\frac{1}{x}$=$\frac{（2x-1）（x+1）}{x}$，
∵函數(shù)定義域為（0，+∞），
∴f′（x）≥0等價于（2x+1）（x+1）≥0，
∴當x≥$\frac{1}{2}$時，f′（x）≥0，f（x）單調(diào)遞增；
當0＜x＜$\frac{1}{2}$時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．
∴函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間是[$\frac{1}{2}$，+∞），遞減區(qū)間是（0，$\frac{1}{2}$）．
（Ⅱ）假設(shè)存在實數(shù)a，使g（x）=x²-f（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）的最小值為3．
g′（x）=a-$\frac{1}{x}$=$\frac{ax-1}{x}$，
①當a≤0時，g（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，此時g（x）_min=g（e）=ae-1=3，
∴a=$\frac{4}{e}$＞0不滿足條件，舍去；
②當0＜a≤$\frac{1}{e}$時，$\frac{1}{a}$≥e，g（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，此時g（x）_min=g（e）=ae-1=3，
∴a=$\frac{4}{e}$不滿足條件，舍去；
③當a＞$\frac{1}{e}$時，0＜$\frac{1}{a}$＜e，g（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上單調(diào)遞減，在（$\frac{1}{a}$，e]上單調(diào)遞增，
此時g（x）_min=g（$\frac{1}{a}$）=1+lna=3，∴a=e²，滿足條件．
綜上，存在實數(shù)a=e²，使得x∈（0，e]的最小值為3．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，訓練了利用導數(shù)求函數(shù)的最值，考查了數(shù)學轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學思想方法，是壓軸題．