Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦點F₁，O為坐標(biāo)原點，點P在橢圓上，點Q在橢圓的右準(zhǔn)線上，若

PQ

=2

F1O

，

F1Q

=λ(

F1P

| F1P |

+

F1O

| F1O |

)(λ＞0)則橢圓的離心率為

 

．

Answer 1

分析：法一：由題設(shè)條件及

PQ

=2

F1O

，可知PQ平行于x軸，且P點的橫坐標(biāo)為

a2

c

-2c，又

F1Q

=λ(

F1P

| F1P |

+

F1O

| F1O |

)(λ＞0)知Q點在∠PF₁O角平分線上，從而得出四邊形PF₁F₂Q是一個菱形，從而得出P_F1=2c，PF₂=2a-2c，再由橢圓的第二定義建立等式解出離心率的值；
法二：由題設(shè)條件及

PQ

=2

F1O

，可知PQ平行于x軸，且P點的橫坐標(biāo)為

a2

c

-2c，又

F1Q

=λ(

F1P

| F1P |

+

F1O

| F1O |

)(λ＞0)知Q點在∠PF₁O角平分線上由此，可用正切的2倍角公式建立方程求e

解答：解法一：∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦點F₁，O為坐標(biāo)原點，點P在橢圓上，點Q在橢圓的右準(zhǔn)線上，

PQ

=2

F1O

，∴PQ平行于x軸，且P點的橫坐標(biāo)為

a2

c

-2c，
又

F1Q

=λ(

F1P

| F1P |

+

F1O

| F1O |

)(λ＞0)知Q點在∠PF₁O角平分線上，故有∠PF₁O=2∠QF₁O
由于PQ

∥

.

F₁F₂，故四邊形PF₁F₂Q是一個平行四邊形，結(jié)合對角線是角平分線知，四邊形PF₁F₂Q是菱形，可得P_F1=2c
由此得PF₂=2a-2c
由橢圓的第二定義知e=

PF2

PQ

=

2a-2c

2c

，解得e=

5 -1

2

故答案為

5 -1

2

解法二：∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦點F₁，O為坐標(biāo)原點，點P在橢圓上，點Q在橢圓的右準(zhǔn)線上，

PQ

=2

F1O

，∴PQ平行于x軸，且P點的橫坐標(biāo)為

a2

c

-2c，
又

F1Q

=λ(

F1P

| F1P |

+

F1O

| F1O |

)(λ＞0)知Q點在∠PF₁O角平分線上，故有∠PF₁O=2∠QF₁O
令P（

a2

c

-2c，y），Q（

a2

c

，y），故kPF 1=

y

a2 c -2c+c

=

y

a2 c -c

，kQF 1=

y

a2 c +c

又tan∠PF₁O=tan2∠QF₁O=

2tan∠QF1O

1-tan 2∠QF1O

，即

y

a2 c -c

=

2×  y a2 c +c

1-(  y a2 c +c )2

①
又由

x2

a2

+

y2

b2

=1及a²=b²+c²，P（

a2

c

-2c，y），解得y2=6a2-9c2-

a4

c2

+

4c4

a2

代入①整理得
e=

5 -1

2

故答案為e=

5 -1

2

點評：本題是一道向量與橢圓相結(jié)合的題目，由向量的相關(guān)性質(zhì)得到幾何中的位置關(guān)系以及數(shù)量關(guān)系，再由幾何中的相關(guān)公式進(jìn)行變形運算，求得離心率，從解題過程中可以看到，本題的求解過程就是尋求關(guān)于a，c之間關(guān)系的一個過程．本題運算變形較繁，運算量過大，故答案不易做對．