Question

16．已知橢圓$C：\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，斜率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$的動直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B．
（1）設(shè)M為弦AB的中點，求動點M的軌跡方程；
（2）設(shè)F₁，F(xiàn)₂為橢圓C在左、右焦點，P是橢圓在第一象限上一點，滿足$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=-\frac{5}{4}$，求△PAB面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由由$\frac{x_2^2}{4}+y_2^2=1$①，$\frac{x_1^2}{4}+y_1^2=1$②；①-②得：$\frac{{{y_1}+{y_2}}}{{{x_1}+{x_2}}}×\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=-\frac{1}{4}$，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}\frac{y}{x}=-\frac{1}{4}$，即$x+2\sqrt{3}y=0$，由M在橢圓內(nèi)部，則$-\sqrt{3}＜x＜\sqrt{3}$，即可求得動點M的軌跡方程；
（2）由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，求得P點坐標(biāo)，求得直線l的方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，點到直線的距離公式及三角形的面積公式，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)，即可求得△PAB面積的最大值．

解答 解：（1）設(shè)M（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\frac{x_2^2}{4}+y_2^2=1$①，$\frac{x_1^2}{4}+y_1^2=1$②；
①-②得：$\frac{{{y_1}+{y_2}}}{{{x_1}+{x_2}}}×\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=-\frac{1}{4}$，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}\frac{y}{x}=-\frac{1}{4}$，即$x+2\sqrt{3}y=0$．…（4分）
又由中點在橢圓內(nèi)部得$-\sqrt{3}＜x＜\sqrt{3}$，
∴M點的軌跡方程為$x+2\sqrt{3}y=0$，$-\sqrt{3}＜x＜\sqrt{3}$；…（5分）
（2）由橢圓的方程可知：F₁（-$\sqrt{3}$，0）F₂（$\sqrt{3}$，0），P（x，y）（x＞0，y＞0），$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=（-$\sqrt{3}$-x，-y），$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（$\sqrt{3}$-x，-y），
由$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-$\sqrt{3}$-x，-y）•（$\sqrt{3}$-x，-y）=x²-3+y²=-$\frac{5}{4}$，即x²+y²=$\frac{7}{4}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=\frac{7}{4}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，則P點坐標(biāo)為$（{1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$，…（6分）
設(shè)直線l的方程為$y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}x+m$，
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{2}x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：${x^2}+\sqrt{3}mx+{m^2}-1=0$，由△＞0得-2＜m＜2，
則${x_1}+{x_2}=-\sqrt{3}m$，${x_1}{x_2}={m^2}-1$，…（8分）
$|{AB}|=\sqrt{\frac{7}{4}}\sqrt{4-{m^2}}$，$d=\frac{|m|}{{\sqrt{\frac{7}{4}}}}$，
∴${S_{△PAB}}=\frac{1}{2}|m|\sqrt{4-{m^2}}$．…（9分）
${S_{△PAB}}=\frac{1}{2}|m|\sqrt{4-{m^2}}≤\frac{1}{2}\frac{{{m^2}+4-{m^2}}}{2}=1$，
當(dāng)且僅當(dāng)m²=4-m²，即$m=±\sqrt{2}$時，取等號，
∴△PAB面積的最大值1．…（12分）

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，向量的坐標(biāo)運算三角形的面積公式與基本不等式的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題．