Question

已知橢圓C：的一個焦點是F（1，0），且離心率為．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設經(jīng)過點F的直線交橢圓C于M，N兩點，線段MN的垂直平分線交y軸于點P（0，y），求y的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用橢圓的性質(zhì)及，b²=a²-c²即可得出；
（II）分直線MN的斜率存在于不存在討論，當MN的斜率存在時，可設直線MN的方程為y=k（x-1）（k≠0），與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關系及其中點坐標公式及其基本不等式的性質(zhì)即可得出．
解答：解：（Ⅰ）設橢圓C的半焦距是c．依題意，得 c=1．
因為橢圓C的離心率=，
所以a=2，c=2，b²=a²-c²=3．
故橢圓C的方程為 ．
（Ⅱ）當MN⊥x軸時，顯然y=0．
當MN與x軸不垂直時，可設直線MN的方程為y=k（x-1）（k≠0）．
由 消去y整理得 （3+4k²）x²-8k²x+4（k²-3）=0．
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），線段MN的中點為Q（x₃，y₃），
則 ．
所以 ，．
線段MN的垂直平分線方程為．
在上述方程中令x=0，得．
當k＜0時，；當k＞0時，．
所以，或．
綜上：y的取值范圍是．
點評：本題中考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關系、中點坐標公式及其基本不等式的性質(zhì)等基礎知識與基本技能，考查了分類討論思想方法、推理能力、計算能力．