如圖,斜率為1的直線過(guò)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),與拋物線交于兩點(diǎn)A,B,M為拋物線弧AB上的動(dòng)點(diǎn).

(1)若|AB|=8,求拋物線的方程;
(2)求的最大值

(1);(2).

解析試題分析:本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離、兩點(diǎn)間距離公式、韋達(dá)定理等數(shù)學(xué)知識(shí),考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力和計(jì)算能力,考查數(shù)形結(jié)合思想.第一問(wèn),由已知條件得到直線AB的方程與拋物線聯(lián)立,消參得到關(guān)于x的方程,求出兩根之和,由拋物線的定義得|AB|的值,從而求出P的值;第二問(wèn),直線與拋物線聯(lián)立消去x,解出y,設(shè)出M點(diǎn)坐標(biāo),則可得到的取值范圍,利用點(diǎn)到直線的距離公式列出距離,由于點(diǎn)在直線上方,所以,再化簡(jiǎn)距離的表達(dá)式,通過(guò)配方求最值,從而得到M點(diǎn)坐標(biāo),即可得到的面積.
試題解析:(1)由條件知lAB,則,消去y得,則x1+x2=3p,由拋物線定義得|AB|=x1+x2+p=4p.
又因?yàn)閨AB|=8,即p=2,則拋物線的方程為.(5分)
(2)由(1)知|AB|=4p,且lAB,
,消x得:,即
設(shè),則,
M到AB的距離,因?yàn)辄c(diǎn)M在直線AB的上方,所以,
所以,
當(dāng)時(shí),.
.(12分)
考點(diǎn):1.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì);2.點(diǎn)到直線的距離;3.兩點(diǎn)間距離公式.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,已知橢圓C的方程為+y2=1,A、B是四條直線x=±2,y=±1所圍成的矩形的兩個(gè)頂點(diǎn).

(1)設(shè)P是橢圓C上任意一點(diǎn),若=m+n,求證:動(dòng)點(diǎn)Q(m,n)在定圓上運(yùn)動(dòng),并求出定圓的方程;
(2)若M、N是橢圓C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且直線OM、ON的斜率之積等于直線OA、OB的斜率之積,試探求△OMN的面積是否為定值,并說(shuō)明理由.

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如圖,正方形ABCD內(nèi)接于橢圓=1(a>b>0),且它的四條邊與坐標(biāo)軸平行,正方形MNPQ的頂點(diǎn)M、N在橢圓上,頂點(diǎn)P、Q在正方形的邊AB上,且A、M都在第一象限.
 
(1)若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,且與y軸交于E、F兩點(diǎn),正方形MNPQ的邊長(zhǎng)為2.
①求證:直線AM與△ABE的外接圓相切;
②求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)橢圓的離心率為e,直線AM的斜率為k,求證:2e2-k是定值.

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是否同時(shí)存在滿足下列條件的雙曲線,若存在,求出其方程,若不存在,說(shuō)明理由.
(1)焦點(diǎn)在軸上的雙曲線漸近線方程為;
(2)點(diǎn)到雙曲線上動(dòng)點(diǎn)的距離最小值為

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如圖,兩條相交線段、的四個(gè)端點(diǎn)都在橢圓上,其中,直線的方程為,直線的方程為

(1)若,,求的值;
(2)探究:是否存在常數(shù),當(dāng)變化時(shí),恒有?

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橢圓的離心率是,它被直線截得的弦長(zhǎng)是,求橢圓的方程.

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如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:的離心率為,短軸長(zhǎng)是2.

(1)求a,b的值;
(2)設(shè)橢圓C的下頂點(diǎn)為D,過(guò)點(diǎn)D作兩條互相垂直的直線l1,l2,這兩條直線與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為M,N.設(shè)l1的斜率為k(k≠0),△DMN的面積為S,當(dāng)時(shí),求k的取值范圍.

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已知橢圓C:+=1(a>b>0),左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1,F2,上頂點(diǎn)A(0,b),△AF1F2為正三角形且周長(zhǎng)為6.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率;
(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn),P是直線F1A上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求|PF2|+|PO|的最小值,并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

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如圖所示,直線l:y=x+b與拋物線C:x2=4y相切于點(diǎn)A.

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(2)求以點(diǎn)A為圓心,且與拋物線C的準(zhǔn)線相切的圓的方程.

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