Question

已知等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為1，公差為2，若a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…-a2na2n+1≥t•n2對(duì)n∈N^*恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是

（-∞，-12]

．

Answer 1

分析：由a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…-a_2na_2n+1=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃-a₅）+…+a_2n（a_2n-1-a_2n+1）=4（a₂+a₄+…+a_2n），結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式可得關(guān)于n的不等式，解不等式可求t≤-8-

4

n

對(duì)n∈N^*恒成立，轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值即可

解答：解：a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…-a_2na_2n+1
=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃-a₅）+…+a_2n（a_2n-1-a_2n+1）
=-4（a₂+a₄+…+a_2n）
=-4×

a2+a2n

2

×n=-8n2-4n，
所以-8n²+4n≥tn²，
所以t≤-8-

4

n

對(duì)n∈N^*恒成立，
t≤-12，
故答案為（-∞，-12]

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)及求和 公式的應(yīng)用及恒成立與最值求解的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系的應(yīng)用．