【題目】已知橢圓E: (a>b>0)的上頂點(diǎn)為P(0,1),過(guò)E的焦點(diǎn)且垂直長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為1.若有一菱形ABCD的頂點(diǎn)A、C在橢圓E上,該菱形對(duì)角線BD所在直線的斜率為﹣1.
(1)求橢圓E的方程;
(2)當(dāng)直線BD過(guò)點(diǎn)(1,0)時(shí),求直線AC的方程;
(3)當(dāng)∠ABC= 時(shí),求菱形ABCD面積的最大值.
【答案】
(1)解:依題意,b=1,
解 ,得|y|= ,
所以 ,a=2,
橢圓E的方程為
(2)解:直線BD:y=﹣1×(x﹣1)=﹣x+1,
設(shè)AC:y=x+b,
由方程組 得 ,
當(dāng) 時(shí),
A(x1,y1),C(x2,y2)的中點(diǎn)坐標(biāo)為 =﹣ , ,
ABCD是菱形,所以AC的中點(diǎn)在BD上,所以
解得 ,滿足△=5﹣b2>0,所以AC的方程為y=x﹣
(3)解:因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形,且 ,所以AB=AC=BC,所以菱形ABCD的面積 ,
由(2)可得AC2=(x2﹣x1)2+(y2﹣y2)2=2,
AC2=(x2﹣x1)2+(y2﹣y1)2=2(x2﹣x1)2=2(x2+x1)2﹣8x1x2=2× = ,
因?yàn)? ,所以當(dāng)且僅當(dāng)b=0時(shí),菱形ABCD的面積取得最大值,最大值為
【解析】(1)依題意,b=1,解 ,得|y|= ,所以 ,由此能求出橢圓E的方程.(2)直線BD:y=﹣1×(x﹣1)=﹣x+1,設(shè)AC:y=x+b,由方程組 得 ,再由根的判別式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式和菱形的性質(zhì)能推導(dǎo)出AC的方程.(3)因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形,且 ,所以AB=AC=BC,所以菱形ABCD的面積 ,由AC2=(x2﹣x1)2+(y2﹣y1)2=2(x2﹣x1)2=2(x2+x1)2﹣8x1x2= ,能推導(dǎo)出當(dāng)且僅當(dāng)b=0時(shí),菱形ABCD的面積取得最大值.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用一般式方程和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案,需要掌握直線的一般式方程:關(guān)于的二元一次方程(A,B不同時(shí)為0);橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸:,焦點(diǎn)在y軸:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知曲線C1的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2 sin(θ+ ). (Ⅰ)求曲線C1與曲線C2的普通方程;
(Ⅱ)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣1,3),且曲線C1與曲線C2交于B,D兩點(diǎn),求|PB||PD|.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)= ﹣ln(1+|x|),則使得f(2x)>f(x﹣1)成立的x取值范圍是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知a,b,c分別是△ABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,sin2B=2sinAsinC. (Ⅰ)若a=b,求cosB;
(Ⅱ)設(shè)B=90°,且a= ,求△ABC的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,三棱錐P﹣ABC中,PC⊥平面ABC,PC=AC=2,AB=BC,D是PB上一點(diǎn),且CD⊥平面PAB.
(1)求證:AB⊥平面PCB;
(2)求二面角C﹣PA﹣B的大小的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1=2,且anan+1+an+1﹣2an=0(n∈N+).
(1)求a2、a3、a4的值;
(2)猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知f(n)=1+ + +…+ (n∈N*),計(jì)算得f(2)= ,f(4)>2,f(8)> ,f(16)>3,f(32)> ,由此推算:當(dāng)n≥2時(shí),有( )
A.f(2n)> (n∈N*)
B.f(2n)> (n∈N*)
C.f(2n)> (n∈N*)
D.f(2n)> (n∈N*)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓C:(x﹣1)2+(y﹣2)2=25,直線l:(2m+1)x+(m+1)y﹣7m﹣4=0.
(1)求證:直線l恒過(guò)定點(diǎn);
(2)求直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)最長(zhǎng)與最短的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)集合A={x|x2+4x=0,x∈R},B={x|x2+2(a+1)x+a2﹣1=0,x∈R},
(1)若A∩B=A∪B,求實(shí)數(shù)a的值;
(2)若A∩B=B,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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