Question

【題目】已知橢圓E： （a＞b＞0）的上頂點(diǎn)為P（0，1），過E的焦點(diǎn)且垂直長軸的弦長為1．若有一菱形ABCD的頂點(diǎn)A、C在橢圓E上，該菱形對(duì)角線BD所在直線的斜率為﹣1．
（1）求橢圓E的方程；
（2）當(dāng)直線BD過點(diǎn)（1，0）時(shí)，求直線AC的方程；
（3）當(dāng)∠ABC= 時(shí)，求菱形ABCD面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意，b=1，

解 ，得|y|= ，

所以 ，a=2，

橢圓E的方程為

（2）解：直線BD：y=﹣1×（x﹣1）=﹣x+1，

設(shè)AC：y=x+b，

由方程組 得 ，

當(dāng) 時(shí)，

A（x1，y1），C（x2，y2）的中點(diǎn)坐標(biāo)為 =﹣ ， ，

ABCD是菱形，所以AC的中點(diǎn)在BD上，所以

解得 ，滿足△=5﹣b2＞0，所以AC的方程為y=x﹣

（3）解：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，且 ，所以AB=AC=BC，所以菱形ABCD的面積 ，

由（2）可得AC2=（x2﹣x1）2+（y2﹣y2）2=2，

AC2=（x2﹣x1）2+（y2﹣y1）2=2（x2﹣x1）2=2（x2+x1）2﹣8x1x2=2× = ，

因?yàn)? ，所以當(dāng)且僅當(dāng)b=0時(shí)，菱形ABCD的面積取得最大值，最大值為

【解析】（1）依題意，b=1，解 ，得|y|= ，所以 ，由此能求出橢圓E的方程．（2）直線BD：y=﹣1×（x﹣1）=﹣x+1，設(shè)AC：y=x+b，由方程組 得 ，再由根的判別式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式和菱形的性質(zhì)能推導(dǎo)出AC的方程．（3）因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，且 ，所以AB=AC=BC，所以菱形ABCD的面積 ，由AC2=（x2﹣x1）2+（y2﹣y1）2=2（x2﹣x1）2=2（x2+x1）2﹣8x1x2= ，能推導(dǎo)出當(dāng)且僅當(dāng)b=0時(shí)，菱形ABCD的面積取得最大值．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用一般式方程和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握直線的一般式方程：關(guān)于的二元一次方程（A，B不同時(shí)為0）；橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：．