Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，過對角線BD₁的一個平面交AA₁于E，交CC₁于F，則
①四邊形BFD₁E一定是平行四邊形；
②四邊形BFD₁E有可能是正方形；
③四邊形BFD₁E在底面ABCD內(nèi)的投影一定是正方形；
④平面BFD₁E有可能垂直于平面BB₁D₁．其中結(jié)論正確的序號是（ ）
A．①②③
B．①③
C．①④
D．①③④

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)面面平行和正方體的幾何特征進行判斷，利用一些特殊情況進行說明．
解答：解：如圖：
①由平面BCB₁C₁∥平面ADA₁D₁，并且B、E、F、D₁四點共面，
∴ED₁∥BF，同理可證，F(xiàn)D₁∥EB，故四邊形BFD₁E一定是平行四邊形，故①正確；
②若BFD₁E是正方形，有ED₁⊥BE，這個與A₁D₁⊥BE矛盾，故②錯誤；
③由圖得，BFD₁E在底面ABCD內(nèi)的投影一定是正方形ABCD，故③正確；
④當點E和F分別是對應(yīng)邊的中點時，平面BFD₁E⊥平面BB₁D₁，故④正確．
故選D．
點評：本題主要考查了正方體的幾何特征，利用面面平行和線線垂直，以及特殊情況進行判斷，考查了空間信息能力和邏輯思維能力．