Question

下列命題中：
①函數(shù)f（x）=ln（x+l）-

2

x

在區(qū)間（1，2）有零點；
③己知當(dāng)x∈（0，+∞）時，幕函數(shù)y=（m²-m-1）•x^-5m-3為減函數(shù)，則實數(shù)m=2；
③若|a|=2|b|≠0，函數(shù)f（x）=

1

3

x³+

1

2

|a|x²+a•b在R上有極值，則向量a．與b的夾角范圍為[

π

3

，π]；
④已知函數(shù)f（x）=lg（x²-2x+a）的值域是R，則a＞1．
其中正確命題的序號為

①②

．

Answer 1

分析：①由函數(shù)f（x）=ln（x+l）-

2

x

在（1，2）內(nèi)連續(xù)，且f（1）=ln2-2＜0，f（2）=ln3-1＞0，知函數(shù)f（x）=ln（x+l）-

2

x

在區(qū)間（1，2）有零點；
②由題設(shè)知

m2-m-1=1 -5m-3＜0

，由此能求出m；
③根據(jù)函數(shù)在實數(shù)上有極值求出導(dǎo)函數(shù)，使得導(dǎo)函數(shù)等于零有解，即一元二次方程有解，判別式大于零，得到

a

的模與兩向量數(shù)量積的不等關(guān)系，把不等關(guān)系代入夾角公式，得到夾角余弦的范圍，求出角的范圍．
④由f（x）=lg（x²-2x+a）的值域是R，知4-4a≥0，由此能求出a的取值范圍．

解答：解：①∵函數(shù)f（x）=ln（x+l）-

2

x

在（1，2）內(nèi)連續(xù)，
且f（1）=ln2-2＜0，
f（2）=ln3-1＞0，
∴函數(shù)f（x）=ln（x+l）-

2

x

在區(qū)間（1，2）有零點，故①正確；
②∵當(dāng)x∈（0，+∞）時，幕函數(shù)y=（m²-m-1）•x^-5m-3為減函數(shù)，
∴

m2-m-1=1 -5m-3＜0

，∴m=2，故②正確；
③∵f′（x）=x²+|

a

|x+

a

•

b

，
∵函數(shù)在實數(shù)上有極值，
∴△=

a

2-4

a

•

b

＞0，
∴4

a

•

b

＜

a

2，
∵cosθ=

a • b

| a |•| b |

＜

1

2

，
∴θ∈（

π

3

，π），故③不正確；
④∵f（x）=lg（x²-2x+a）的值域是R，
∴x²-2x+a能取到所有大于零的值，
∴4-4a≥0，
所以a≤1，故④不正確．
故答案為：①②．

點評：本題考查命題的真假判斷，具體涉及到函數(shù)的零點、函數(shù)的單調(diào)性、向量、值域等基本知識點，解題時要認(rèn)真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．