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19.以T=4為周期的函數(shù)f(x)=\left\{\begin{array}{l}{λ\sqrt{1-{x}^{2}}(x∈(-1,1])}\\{3-3|x-2|(x∈(1,3])}\end{array}\right.(其中λ>0),若方程f(x)=x恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解,則λ的取值范圍是( �。�
A.(4,8)B.(4,3\sqrt{7}C.\sqrt{15},3\sqrt{7}D.\sqrt{15},8)

分析 根據(jù)對(duì)函數(shù)的解析式進(jìn)行變形后發(fā)現(xiàn)當(dāng)x∈(-1,1],[3,5],[7,9]上時(shí),f(x)的圖象為半個(gè)橢圓.根據(jù)圖象推斷要使方程恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解,則需直線y=x與第二個(gè)橢圓相交,而與第三個(gè)橢圓無公共點(diǎn).把直線分別代入橢圓方程,根據(jù)△可求得λ的范圍

解答 解:∵當(dāng)x∈(-1,1]時(shí),將函數(shù)化為方程x2+\frac{{y}^{2}}{{λ}^{2}}=1(y≥0),
∴實(shí)質(zhì)上為一個(gè)半橢圓,
當(dāng)x∈(1,3]時(shí),f(x)=3-3|x-2|是一段折線,
其圖象如圖所示,

同時(shí)在坐標(biāo)系中作出當(dāng)x∈(1,3]得圖象,再根據(jù)周期性作出函數(shù)其它部分的圖象,
由圖易知直線y=x與第二個(gè)半橢圓(x-4)2+\frac{{y}^{2}}{{λ}^{2}}=1(y≥0)相交,
但與第三個(gè)半橢圓(x-8)2+\frac{{y}^{2}}{{λ}^{2}}=1無公共點(diǎn)時(shí),方程恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解,
將y=x代入(x-4)2+\frac{{y}^{2}}{{λ}^{2}}=1 (y≥0)得,
(1+\frac{1}{{λ}^{2}})x2-8x+15=0,由△=64-60 (1+\frac{1}{{λ}^{2}})>0,得λ2>15,且λ>0得λ>\sqrt{15},
將y=x代入(x-8)2+\frac{{y}^{2}}{{λ}^{2}}=1(y≥0)得,
(1+\frac{1}{{λ}^{2}})x2-16x+63=0,由△=256-252 (1+\frac{1}{{λ}^{2}})<0,得λ2<63,且λ>0得:0<λ<3\sqrt{7},
綜上可知m∈(\sqrt{15},3\sqrt{7}
故選:C

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)的周期性.采用了數(shù)形結(jié)合的方法,很直觀.

練習(xí)冊系列答案
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A.[\frac{3}{4},1)B.[\frac{5}{7},1)C.[\frac{9}{10},1)D.[\frac{5}{7},1]

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