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19.以T=4為周期的函數(shù)f(x)={λ1x2x11]33|x2|x13](其中λ>0),若方程f(x)=x恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解,則λ的取值范圍是( �。�
A.(4,8)B.(4,37C.15,37D.15,8)

分析 根據(jù)對(duì)函數(shù)的解析式進(jìn)行變形后發(fā)現(xiàn)當(dāng)x∈(-1,1],[3,5],[7,9]上時(shí),f(x)的圖象為半個(gè)橢圓.根據(jù)圖象推斷要使方程恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解,則需直線y=x與第二個(gè)橢圓相交,而與第三個(gè)橢圓無公共點(diǎn).把直線分別代入橢圓方程,根據(jù)△可求得λ的范圍

解答 解:∵當(dāng)x∈(-1,1]時(shí),將函數(shù)化為方程x2+y2λ2=1(y≥0),
∴實(shí)質(zhì)上為一個(gè)半橢圓,
當(dāng)x∈(1,3]時(shí),f(x)=3-3|x-2|是一段折線,
其圖象如圖所示,

同時(shí)在坐標(biāo)系中作出當(dāng)x∈(1,3]得圖象,再根據(jù)周期性作出函數(shù)其它部分的圖象,
由圖易知直線y=x與第二個(gè)半橢圓(x-4)2+y2λ2=1(y≥0)相交,
但與第三個(gè)半橢圓(x-8)2+y2λ2=1無公共點(diǎn)時(shí),方程恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解,
將y=x代入(x-4)2+y2λ2=1 (y≥0)得,
(1+1λ2)x2-8x+15=0,由△=64-60 (1+1λ2)>0,得λ2>15,且λ>0得λ>15,
將y=x代入(x-8)2+y2λ2=1(y≥0)得,
(1+1λ2)x2-16x+63=0,由△=256-252 (1+1λ2)<0,得λ2<63,且λ>0得:0<λ<37,
綜上可知m∈(15,37
故選:C

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)的周期性.采用了數(shù)形結(jié)合的方法,很直觀.

練習(xí)冊系列答案
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