Question

12．已知F為雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左焦點(diǎn)，點(diǎn)A為雙曲線虛軸的一個(gè)頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F，A的直線與雙曲線的一條漸近線在y軸右側(cè)的交點(diǎn)為B，若$\overrightarrow{FA}=（\sqrt{2}-1）\overrightarrow{AB}$，則此雙曲線的離心率是$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線的性質(zhì)可知：設(shè)直線F₁A的方程為：$y=\frac{c}（x+c）$，漸近線方程為$y=\frac{a}x$，聯(lián)立求得B坐標(biāo)，$\overrightarrow{FA}=（\sqrt{2}-1）\overrightarrow{AB}$，整理得：$c=（\sqrt{2}-1）\frac{ac}{c-a}$，求得$c=\sqrt{2}a$，由離心率公式可知：e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．

解答 解：由雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$，A（0，b），F(xiàn)₁（-c，0），
過(guò)點(diǎn)F、A的直線方程的斜率為k=$\frac{a}$，
∴直線F₁A的方程為：$y=\frac{c}（x+c）$①，
雙曲線的一條漸近線方程為$y=\frac{a}x$②，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{c}（x+c）}\\{y=\frac{a}x}\end{array}\right.$，解得交點(diǎn)$B（\frac{ac}{c-a}，\frac{bc}{c-a}）$，
由$\overrightarrow{FA}=（\sqrt{2}-1）\overrightarrow{AB}$，解得$c=（\sqrt{2}-1）\frac{ac}{c-a}$，
整理得：$c=\sqrt{2}a$，
e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$，
故答案為：$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查向量的共線定理，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．