如圖所示,已知ABCD-A1B1C1D1是底面為正方形的長方體,∠AD1A1=60°,AD1=4,點P是AD1上的動點.
(1)當P為AD1的中點時,求異面直線AA1與B1P所成角的余弦值;
(2)求PB1與平面AA1D1所成角的正切值的最大值.
分析:(1)解法一:過點P作PE⊥A1D1,垂足為E,連接B1E,則PE∥AA1,可得∠B1PE是異面直線AA1與B1P所成的角,在Rt△B1PE中,利用余弦函數(shù)可求異面異面直線AA1與B1P所成角的余弦值;
解法二:以A1為原點,A1B1所在的直線為x軸建立空間直角坐標系,利用坐標表示點與向量,利用向量的夾角公式,即可求得結(jié)論;
(2)由(1)知,B1A1⊥平面AA1D1,故∠B1PA1是PB1與平面AA1D1所成的角且tan∠B1PA1=
B1A1
A1P
=
2
A1P
,當A1P最小時,tan∠B1PA1最大,由此可得結(jié)論.
解答:(1)解法一:過點P作PE⊥A1D1,垂足為E,連接B1E(如圖),則PE∥AA1,
∴∠B1PE是異面直線AA1與B1P所成的角.
在Rt△AA1D中,∵∠AD1A1=60°,∴∠A1AD1=30°,

∴A1B1=A1D1=
1
2
AD1=2,A1E=
1
2
A1D1=1.
又PE=
1
2
AA1=
3

∴在Rt△B1PE中,B1P=
5+3
=2
2

cos∠B1PE=
PE
B1P
=
3
2
2
=
6
4

∴異面異面直線AA1與B1P所成角的余弦值為
6
4

解法二:以A1為原點,A1B1所在的直線為x軸建立空間直角坐標系如圖所示,則A1(0,0,0),A(0,0,2
3
),B1(2,0,0),P(0,1,
3
),∴
A1A
=(0,0,2
3
),
B1P
=(-2,1,
3
),
∴cos<
A1A
B1P
>=
A1A
B1P
|
A1A
||
B1P
|
=
6
4

∴異面直線AA1與B1P所成角的余弦值為
6
4

(2)由(1)知,B1A1⊥平面AA1D1,
∴∠B1PA1是PB1與平面AA1D1所成的角且tan∠B1PA1=
B1A1
A1P
=
2
A1P
,
當A1P最小時,tan∠B1PA1最大,這時A1P⊥AD1,由A1P=
A1D1A1A
AD1
=
3
,得tan∠B1PA1=
2
3
3
,
即PB1與平面AA1D1所成角的正切值的最大值為
2
3
3
點評:本題考查線線角,考查線面角,解題的關(guān)鍵是正確作出線線角與線面角,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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2
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3
2

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1:3
1:3

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