Question

7．實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足$\left\{\begin{array}{l}x-y+1≤0\\ x＞0\\ y≤2\end{array}\right.$，則$z=\frac{y}{x-4}$的最小值為$-\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，由$z=\frac{y}{x-4}$的幾何意義，即可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)P（4，0）連線(xiàn)的斜率求得答案．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}x-y+1≤0\\ x＞0\\ y≤2\end{array}\right.$作出可行域如圖，

聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=2}\\{x-y+1=0}\end{array}\right.$，解得A（1，2），
$z=\frac{y}{x-4}$的幾何意義為可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)P（4，0）連線(xiàn)的斜率，
由圖可知，$z=\frac{y}{x-4}$的最小值為${k}_{PA}=\frac{2-0}{1-4}=-\frac{2}{3}$．
故答案為：$-\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．