Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=a，作斜邊AB邊中線CD，得到第一個三角形ACD；DE⊥BC于點E，作Rt△BDE斜邊DB上中線EF，得到第二個三角形DEF；依此作下去，則第4個三角形的面積等于

3 a2

256

．

Answer 1

分析：根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CD=AD，然后判定出△ACD是等邊三角形，同理可得被分成的第二個、第三個…第n個三角形都是等邊三角形，然后根據(jù)等邊三角形的面積公式求解即可．

解答：解：∵∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線，
∴CD=AD，
∵∠A=60°，
∴△ACD是等邊三角形，
同理可得，被分成的第二個、第三個…第n個三角形都是等邊三角形，
∵CD是AB的中線，EF是DB的中線，…，∵CD是AB的中線，EF是DB的中線，…，
∴第一個等邊三角形的邊長CD=DB=

1

2

AB=AC=a，
第二個等邊三角形的邊長EF=

1

2

DB=

1

2

a，
…
第4個等邊三角形的邊長為

1

23

a=

1

8

a，
所以，第4個三角形的面積=

1

2

×(

1

8

a)2×

3

2

=

3

256

a2．
故答案為：

3 a2

256

點評：本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)．