Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=2x-1．
（1）求f（x）的解析式
（2）寫出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）求滿足f（-m）=f（m）的實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，根據(jù)其對(duì)稱性可知f（0）=0，
當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0
則f（-x）=2（-x）-1=-f（x）
∴x＜0時(shí)，f（x）=2x+1
∴f（x）=
（2）當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=2x-1，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞增
當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=2x+1，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在（-∞，0）上單調(diào)遞增
∴f（x）在（-∞，0）、（0，+∞）上單調(diào)遞增
（3）∵f（-m）=f（m），f（x）是定義在R上的奇函數(shù)
∴-f（m）=f（m）即f（m）=0
當(dāng)m＞0時(shí)，f（m）=2m-1=0，解得m=
當(dāng)m=0時(shí)，f（0）=0，滿足條件
當(dāng)m＜0時(shí)，f（m）=2m+1=0，解得m=-
∴滿足f（-m）=f（m）的實(shí)數(shù)m的值為-，0，．
分析：（1）先根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)推斷出f（0）=0，進(jìn)而把-x代入x＞0時(shí)函數(shù)的解析式，利用奇數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求得x＜0的解析式，最后利用分段函數(shù)表示即可；
（2）根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)有關(guān)可分別判定函數(shù)在（-∞，0）與（0，+∞）上的單調(diào)性；
（3）先根據(jù)奇偶性可得f（m）=0，然后討論m，根據(jù)函數(shù)值求相應(yīng)的m即可．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的解析式，以及函數(shù)的奇偶性和求函數(shù)值，同時(shí)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．