已知圓C的圓心C在y軸上,且圓C與直線y=x+1相切,點A(-1,-2)在圓內,圓半徑等于2
2

(1)求圓的方程;
(2)求經過點A的最短弦所在的直線l的方程.
分析:(1)由題意設圓的標準方程為x2+(y-b)2=8,根據(jù)圓C與直線y=x+1相切,利用點到直線的距離公式建立關于b的等式,解出b=5或-3.由點A(-1,-2)在圓內加以檢驗,可得b=-3,所以圓的方程是x2+(y+3)2=8;
(2)根據(jù)圓的性質,可得當經過點A的弦最短時,直線l與AC所在直線垂直,由此算出直線l的斜率,利用直線方程的點斜式列式,化簡即可得到所求直線l的方程.
解答:解:(1)根據(jù)題意,圓心的坐標為C(0,b),半徑r=2
2
,
設圓的標準方程為x2+(y-b)2=8,
∵圓C與直線y=x+1相切,
∴C(0,b)到直線y=x+1的距離等于半徑,即
|-b+1|
2
=2
2
,解之得b=5或-3.
∵點A(-1,-2)在圓內,
∴|CA|=
(-1-0)2+(-2-b)2
<2
2
,解之得-
7
-2
<b<
7
-2

因此,b=5不符合題意,可得b=-3.
∴圓的方程是x2+(y+3)2=8;
(2)當經過點A的弦最短時,其所在直線l與直線AC互相垂直,
∵AC的斜率k=
-3+2
0+1
=-1,∴直線l的斜率k'=
-1
k
=1,
可得直線l方程為y+2=x+1,即x-y-1=0.
點評:本題給出圓滿足的條件,求圓的方程并求經過圓內點A截得最短弦長的直線方程.著重考查了圓的標準方程、直線的基本量與基本形式和直線與圓的位置關系等知識,屬于中檔題.
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