Question

2．某超市要將甲、乙兩種大小不同的袋裝大米分裝成A，B兩種規(guī)格的小袋，每袋大米可同時(shí)分得A，B兩種規(guī)格的小袋大米的袋數(shù)如下表所示：

規(guī)格類(lèi)型 袋裝大米類(lèi)型	A	B
甲	2	1
乙	1	3

已知庫(kù)房中現(xiàn)有甲、乙兩種袋裝大米的數(shù)量分別為5袋和10袋，市場(chǎng)急需A，B兩種規(guī)格的成品數(shù)分別為15袋和27袋．
（Ⅰ）問(wèn)分甲、乙兩種袋裝大米各多少袋可得到所需A，B兩種規(guī)格的成品數(shù)，且使所用的甲、乙兩種袋裝大米的袋數(shù)最少？（要求畫(huà)出可行域）
（Ⅱ）若在可行域的整點(diǎn)中任意取出一解，求其恰好為最優(yōu)解的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)需分甲、乙兩種袋裝大米的袋數(shù)分別為x、y，所用的袋裝大米的總袋數(shù)為 z，建立目標(biāo)函數(shù)和約束條件，利用線性規(guī)劃的知識(shí)進(jìn)行求解．
（Ⅱ）根據(jù)古典概型的概率公式進(jìn)行計(jì)算即可．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)需分甲、乙兩種袋裝大米的袋數(shù)分別為x、y，所用的袋裝大米的總袋數(shù)為 z
則 $\left\{\begin{array}{l}{2x+y≥15}\\{x+3y≥27}\\{0≤x≤5}\\{0≤y≤10}\end{array}\right.$；（3分）
z=x+y，（x，y為整數(shù)）．（4分）
作出可行域D如圖．（6分）
從圖中可知，可行域D的所有整數(shù)點(diǎn)為：（3，9），（3，10），（4，8），（4，9），（4，10），（5，8），（5，9），（5，10），
共8點(diǎn)．（8分）
因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)為 z=x+y，（x，y為整數(shù)），所以在一組平行直線x+y=t（t為參數(shù)）中，
經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)的整點(diǎn)且與原點(diǎn)距離最近的直線是x+y=12，其經(jīng)過(guò)的整點(diǎn)是（3，9）和（4，8），它們都是最優(yōu)解．（9分）
所以，需分甲、乙兩種袋裝大米的袋數(shù)分別為 袋、袋或 袋、袋可使所用的袋裝大米的袋數(shù)最少．（10分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知可行域內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為8，而最優(yōu)解有兩個(gè)，所以所求的概率為P=$\frac{2}{8}$=$\frac{1}{4}$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用問(wèn)題以及古典概型的計(jì)算，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．