已知函數(shù)．f（x）=
x1+ex
+ln（1+ex）-x．
（I）求證：0＜f（x）≤ln2；
（II）是否存在常數(shù)a使得當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞a恒成立？若存在，求a的取值范圍，若不存在，說明理由．
分析：（I）求出函數(shù)f（x）=
x
1+ex
+ln（1+ex）-x導(dǎo)數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究出函數(shù)的最值，求出最值即可證明本題．
（II）由（I）的證明，即可得出參數(shù)a存在，且a的取值范圍易得，
解答：（I）證明：∵f（x）=
x
1+ex
+ln（1+ex）-x．
∴f′（x）=
1+ex-xex
(1+ex)2
+
ex
1+ex
-1=
-xex
(1+ex)2

∴當(dāng)x＜0，f′（x）＞0；
當(dāng)x＞0，f′（x）＜0；
故函數(shù)在x＜0時(shí)是增函數(shù)，在x＞0時(shí)是減函數(shù)，其最大值是f（2）=ln2
又x＞0時(shí)，f（x）=
x
1+ex
+ln（1+ex）-x＞
x
1+ex
+ln（ex）-x=
x
1+ex
＞0；當(dāng)x＜0時(shí)，顯然有f（x）＞0
故有0＜f（x）≤ln2；
（II）解：由（I）的證明知，0＜f（x）≤ln2，故存在a≤0，使得當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞a恒成立．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，以及函數(shù)最值的定義求出最值，本題中利用求出最值證明不等式，形式新穎．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)．定義：若對(duì)給定的實(shí)數(shù)a（a≠0），函數(shù)y=f（x+a）與y=f-1（x+a）互為反函數(shù)，則稱y=f（x）滿足“a和性質(zhì)”；若函數(shù)y=f（ax）與y=f-1（ax）互為反函數(shù)，則稱y=f（x）滿足“a積性質(zhì)”．
（1）判斷函數(shù)g（x）=x2+1（x＞0）是否滿足“1和性質(zhì)”，并說明理由；
（2）求所有滿足“2和性質(zhì)”的一次函數(shù)；
（3）設(shè)函數(shù)y=f（x）（x＞0）對(duì)任何a＞0，滿足“a積性質(zhì)”．求y=f（x）的表達(dá)式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

17、已知函數(shù)y=f（x）和y=g（x）在[-2，2]的圖象如圖所示，則方程f[g（x）]=0有且僅有
6
個(gè)根；方程f[f（x）]=0有且僅有
5
個(gè)根．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•上海）已知函數(shù)y=f（x）的圖象是折線段ABC，其中A（0，0）、B（
1
2
，5）、C（1，0），函數(shù)y=xf（x）（0≤x≤1）的圖象與x軸圍成的圖形的面積為
5
4
5
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)y=f（x），x∈R，有下列4個(gè)命題：
①若f（1+2x）=f（1-2x），則y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱；
②y=f（x-2）與y=f（2-x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱；
③若y=f（x）為偶函數(shù)，且y=f（2+x）=-f（x），則y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱；
④若y=f（x）為奇函數(shù)，且f（x）=f（-x-2），則y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱．
其中正確命題的個(gè)數(shù)為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x3+1．設(shè)f（x）的反函數(shù)是y=g（x），則g（-28）=
-3
-3
．

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