Question

對于給定的n項數(shù)列S={a₁，a₂，…，a_n}，令f（S）為n-1項數(shù)列{

a1+a2

2

，

a2+a3

2

，…，

an-1+an

2

}；設(shè)x＞0，且S={1，x，x²，…，x¹⁰⁰}，若

ff…f

100個

(S)={

1

250

}，則x的值為（　�。�

• A．1-

  2

  2

• B．

  2

  -1
• C．

  1

  2

• D．2-

  2

Answer 1

分析：由于x＞0，且S={1，x，x²，…，x¹⁰⁰}，根據(jù)題意得到f（S）為100項數(shù)列{

1 +x

2

，

x+x 2

2

，…，

x 99+ x 100

2

}，ff（S）為99項數(shù)列{

1 +x+x+x 2

4

，

x+x 2+x 2+x 3

4

，…，

x 98+x 99+x  99+ x 100

4

}，歸納得出

(x+1) 100

2 100

=

1

2 50

，從而解得x的值．

解答：解：設(shè)x＞0，且S={1，x，x²，…，x¹⁰⁰}，
∴f（S）為100項數(shù)列{

1 +x

2

，

x+x 2

2

，…，

x 99+ x 100

2

}，
ff（S）為99項數(shù)列{

1 +x+x+x 2

4

，

x+x 2+x 2+x 3

4

，…，

x 98+x 99+x  99+ x 100

4

}，
…

ff…f

100個

(S)={

1

250

}，則有：

(x+1) 100

2 100

=

1

2 50

，
∴x+1=

2

（-

2

舍去），⇒x=

2

-1．
故選B．

點評：本小題主要考查數(shù)列的函數(shù)特性、數(shù)列的求和、二項式定理等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力與歸納思想．屬于基礎(chǔ)題．